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2
z5 = 1 ÝÝ1
これを満たし，実部と虚部がともに正であるものは z = cos
2¼
2¼
+i sin
(Ë 1)， z = 1
5
5
このとき
4¼
4¼
4¼
4¼
2¼
2¼
+ i sin
，z3 = cos
¡ i sin
，z4 = cos
¡ i sin
5
5
5
5
5
5
複素数平面上で 1,z，z2 ，z3 ，z4 は単位円周上にあり，正五角形の頂点になっている．
z2 = cos
(1) 5 回とも表が出たとするとき
w = 1 + z + z2 + z3 + z4 =
1 ¡ z5
= 0 (Û 1)
1¡z
:
(2) a0 = a2 = a3 = 0，a1 = a4 = 1 のとき
2¼
w = z + z4 = 2 cos
5
¼
2¼
2¼
¼
1
ここで 0 <
<
であるから cos
< cos
=
3
5
5
3
2
2¼
< 1 である．
これより 0 < 2 cos
5
よって w < 1 であることが示された．(証明終)
z
z2
1
O
z3
z4
(3) (a0 ，a1 ，a2 ，a3 ，a4 ) の決め方は 25 = 32 (通り)
そのうち w < 1 となる組を考える．
w に対して a0 ，a1 ，a2 ，a3 ，a4 の 1 と 0 を入れかえたものを w0 とする．このとき
w + w0 = 1 + z + z2 + z3 + z4 = 0 " Û (1):
このことから
w = w0
ÝÝ2
ÉあÊ
(a0 ，a1 ，a2 ，a3 ，a4 ) = (0; 0; 0; 0; 0) のとき
ÉいÊ
(a0 ，a1 ，a2 ，a3 ，a4 ) = (1; 1; 1; 1; 1) のとき
ÉうÊ
w = 0 であるから
É あ Ê と 2 から
ÉおÊ
w < 1 を満たす．
a0 ，a1 ，a2 ，a3 ，a4 のうち 4 つが 0 で 1 つが 1 のとき
1 = z = z2 = z3 = z4 = 1
これより
ÉえÊ
w < 1 を満たす．
w < 1 を満たさない．
a0 ，a1 ，a2 ，a3 ，a4 のうち 4 つが 1 で 1 つが 0 のとき
É う Ê と 2 から
w < 1 を満たさない．
a0 ，a1 ，a2 ，a3 ，a4 のうち 2 つが 1 で 3 つが 0 のとき
正五角形の隣り合わないような 2 点を表す複素数の係数のみ 1 となるならば，例えば
(2) のように (a0 ，a1 ，a2 ，a3 ，a4 ) = (0; 1; 0; 0; 1) のとき
w < 1 を満たす．
対称性を考えてそのような組は 5 つある．
正五角形の隣り合う 2 点を表す複素数の係数のみ 1 となるならば，例えば
(a0 ，a1 ，a2 ，a3 ，a4 ) = (0; 0; 1; 1; 0) のとき
4¼
2
¼ =1
w = z2 + z3 = 2 cos
> 2 cos
5
3
これは w < 1 を満たさない．
ÉかÊ
a0 ，a1 ，a2 ，a3 ，a4 のうち 2 つが 0 で 3 つが 1 のとき
É お Ê と 2 から組は 5 つある．
以上，É あ Ê ∼ É か Ê より考える組は 1 + 1 + 5 + 5 = 12 (通り)
よって
w < 1 となる確率は
12
3
=
8
32
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