微分積分学 I 演習問題 No.11 【関数の増減・極値・グラフ】

微分積分学 I
演習問題
学科
学年・組
学籍番号
氏名 (フリガナ)
評価
２・１・０
(担当: 谷戸)
No.11 【関数の増減・極値・グラフ】
(4) 増減表を参考にして, y = f (x) のグラフを描きなさい.
関数 f (x) = 2x + 6x − 1 について, 以下の問いに答えよ.
3
2
【解答】
(1) 導関数を求め, f ′ (x) = 0 となる x を求めなさい.
y = 2x3 + 6x2 − 1
y
【解答】
f ′ (x) = 6x2 + 12x = 6x(x + 2).
方程式 6x(x + 2) = 0 の解は, x = 0, −2.
(2) 第 2 次導関数を求め, f ′′ (x) = 0 となる x を求めなさい.
【解答】
f ′′ (x) = (6x2 + 12x)′ = 12x + 12.
方程式 12x + 12 = 0 の解は, x = −1.
7
(3) 増減表を作りなさい.
【解答】
x
···
−2
···
−1
···
0
···
f ′ (x)
+
0
−
−
−
0
+
3
′′
f (x)
−
−
f (x)
✲
☛
7
−
0
✟
❄ 3
+
+
+
✲
✡ −1
✠
✻
−2
(参考)
関数値の計算:
−1
O
x
−1
• f (0) = 2 · 03 + 6 · 02 − 1 = −1
• f (−1) = 2 · (−1)3 + 6 · (−1)2 − 1 = 3
• f (−2) = 2 · (−2)3 + 6 · (−2)2 − 1 = 7
導関数の符号の判定:
• x < −2 のとき, 6x < 0 かつ x + 2 < 0 より,
f ′ (x) = 6x(x + 2) > 0.
• 同様に考えて, −2 < x < 0 のとき, f ′ (x) < 0.
• 同じく, x > 0 のとき, f ′ (x) > 0.
第 2 次導関数の符号の判定:
• x < −1 のとき, x + 1 < 0 より,
f ′′ (x) = 12(x + 1) < 0.
• 同様に考えて, x > −1 のとき, f ′′ (x) > 0.
(5) 極値, 変曲点, 漸近線を答えなさい.
【解答】
x = −2 のとき極大値 7.
x = 0 のとき極小値 −1.
変曲点の座標は (−1, 3).
漸近線は無し.
Extra 問題の解答.
関数 f (x) = x − 2 sin x (− π2 ≦ x ≦
π
2)
について, 以下の問い
に答えよ.
(1) 導関数を求め, f ′ (x) = 0 となる x を求めなさい.
【解答】
f ′ (x) = 1 − 2 cos x.
1 − 2 cos x = 0 より, cos x = 21 .
− π2 ≦ x ≦ π2 なので, x = ± π3 .
(2) 第 2 次導関数を求め, f ′′ (x) = 0 となる x を求めなさい.
【解答】
f ′′ (x) = (1 − 2 cos x)′ = 2 sin x.
2 sin x = 0 より, sin x = 0.
− π2 ≦ x ≦ π2 なので, x = 0.
(3) 増減表を作りなさい.
【解答】
···
− π3
···
0
···
π
3
···
f ′ (x)
+
0
−
−
−
0
+
f ′′ (x)
−
−
−
0
+
+
+
x
f (x)
− π2
2−
π
2
✲
☛ √
3−
✟
❄ 0
π
3
✲
✡
π
3
−
√
3
π
2
π
✠
✻ 2 −2
(4) 増減表を参考にして, y = f (x) のグラフを描きなさい.
y
【解答】
y = x − 2 sin x
y
√
3−
2 − π2
π
3
π
3
− π2 − π3
O
−2
√
− 3
π
2
π
3
(5) 極値, 変曲点, 漸近線を答えなさい.
【解答】
√
3 − π3 .
√
x = π3 のとき極小値 π3 − 3.
変曲点の座標は (0, 0).
漸近線は無し.
x = − π3 のとき極大値
π
2
x
y = x − 2 sin x (− π2 ≦ x ≦
O
π
)
2
x

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