数学Ⅱ ラジオ 学習メモ 第 47 回 第 3 章 三角関数 ［加法定理］ 加法定理の応用 ⑴ 講師 川﨑宣昭 2 倍角の公式 学習のポイント 加法定理を利用して，三角関数のいろいろな 公式を導きます。特に今回は，2 倍角の公式を 証明し，その公式を使うことを学習します。 ① 2倍角の公式とは？ ② 2倍角の公式の特徴 ③ 2倍角の公式を用いた三角関数の値の求め方 ２倍角の公式とは？ 60°は 30°の 2 倍の大きさの角度ですが，30°のサイン，コサイン A' の値と，60°のサイン，コサインの値は，今までの学習から値がす ぐにわかります。 αが第 1 象限の角で，sinα＝ 3 のとき，sin2α，cosαの値が 5 ▼ 求められます！ 右図は，sinα＝ 3 A'C BC であり，sin2α＝ ，cos2α＝ の値が 5 BA' A'B 5 求められます！ B α α 4 A 3 C 2 倍角の公式の特徴 サインの加法定理は， sin(α＋β) ＝ sinαcosβ＋ cosαsinβ この式で，βをαに置き換えると， sin(α＋α) ＝ sinαcosα＋ cosαsinα sin2α＝ 2sinαcosα → サインの 2 倍角の公式 コサインの加法定理は， cos(α＋β) ＝ cosαcosβ− sinαsinβ この式で，βをαに置き換えると， cos(α＋α) ＝ cosαcosα− sinαsinα cos2α＝ cos2α− sin2α → コサインの２倍角の公式（1） コサインの２倍角公式（1）で，cos2αを 1 − sin2αをに置き換えると， cos2α＝ 1 − 2sin2α → コサインの２倍角の公式（2） コサインの２倍角公式（1）で，sin2αを 1 − cos2αに置き換えると， cos2α＝ 2cos2α− 1 → コサインの２倍角の公式（3） − 108 − 高校講座・学習メモ 数学Ⅱ 47 加法定理の応用 ⑴ 【2 倍角の公式】 sin2α＝ 2sinαcosα ← cosαと sinαの両方の値がわからなければいけない。 cos2α＝ cos2α− sin2α ＝ 1 − 2sin2α ← sinαだけの値がわかればよい。 ＝ 2cos2α− 1 ← cosαだけの値がわかればよい。 ※ tan(α＋β) ＝ tanα＋ tanβ 2tanα でβをαに置き換えれば，tan2α＝ 1 − tanαtanβ 1 − tan2α ２倍角の公式を用いた三角関数の値の求め方 αが第１象限の角で，sinα＝ 例 3 のとき，sin2α，cos2αの値を求めなさい。 5 3 の値以外に cosαの値を求める必要がある｡ 5 sin2α＝ 2sinαcosαより，sinα＝ cos2α＝ 1 − sin2α＝ 1 − 2 ▼ 3 5 ( ) 16 ← sin2α＋ cos2α＝ 1 25 ＝ αは第１象限の角だから，cosα＞ 0 よって，cosα＝ 4 5 したがって， sin2α＝ 2sinαcos ＝ 2 × 3 4 24 × ＝ ……（答） 5 5 25 cos2αの値は，cos2αcosα＝ 1 − 2sin2αの公式を使えば簡単に値が計算できる。 ( ) ( ) ( ) ( ) cos2α＝ cos α− sin α＝ 2 − 3 5 32 7 −1＝ でも計算でき， 25 25 2 ＝ 16 − 9 7 ＝ でも計算できる。 25 25 5 のとき，sin2α，cos2αの値を求めなさい。 13 169 120 ，cos2α＝− 169 119 問・解答 αが第 1 象限の角で，cosα＝ 4 5 −1＝ 18 7 ＝ ……（答） 25 25 sin2α＝ 問 2 ＝1− 2 4 5 ※ cos2α＝ 2cos2α− 1 ＝ 2 × 2 2 3 5 cos2α＝ 1 − 2sin α＝ 1 − 2 × 2 − 109 − 高校講座・学習メモ
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