第 21 講 2 次関数（ⅺ）【問題１】次の 2 次不等式が実数解をもつように定数 m の値の範囲を定めよ． x 2  4mx  4m  3 ＜ 0 128 数学Ⅰ 【問題２】 2 次不等式 x 2  4 x  k ≧ 0 が，次の定義域で成り立つように定数 k の値の範囲を求めよ．（１）すべての実数（２） 3 ≦ x ≦ 0 （３） 3 ≦ x 129 【問題３】次の 2 次不等式が任意の実数 x に対して成り立つような実数 a の値の範囲を求めよ．（１） ax 2  x  a ＞ 0 （２） ( a  2)x 2  ( a  2)x  a  1 ＜ 0 130 第 21 講 2 次関数（ⅺ）解答【問題１】次の 2 次不等式が実数解をもつように定数 m の値の範囲を定めよ． x 2  4mx  4m  3 ＜ 0 f ( x )  x 2  4mx  4m  3  ( x  2m)2  4m2  4m  3 とおく． f ( x ) ＜ 0 をみたす実数 x が存在するとき 4m2  4m  3 ＜ 0  (2m  1)(2m  3) ＞ 0  m ＜  1 ， 3 ＜m 2 2 131 数学Ⅰ 【問題２】 2 次不等式 x 2  4 x  k ≧ 0 が，次の定義域で成り立つように定数 k の値の範囲を求めよ．（１）すべての実数（２） 3 ≦ x ≦ 0 （３） 3 ≦ x f ( x )  x 2  4 x  k  ( x  2)2  4  k とおく．（１）すべての実数について， f ( x ) ≧ 0 が成り立つとき 4  k ≧ 0  k≧4 （２）軸： x  2 は定義域 3 ≦ x ≦ 0 の右側にあるから f (0)  k ≧ 0 （３）軸： x  2 は定義域 3 ≦ x の左側にあるから f (3)  32  4  3  k ≧ 0  k ≧3 132 【問題３】次の 2 次不等式が任意の実数 x に対して成り立つような実数 a の値の範囲を求めよ．（１） ax 2  x  a ＞ 0 （２） ( a  2)x 2  ( a  2)x  a  1 ＜ 0 （１） f ( x )  ax 2  x  a とおくと題意より a  0   2 f ( x )  ax 2  x  a  a x  1  1  a 2a 4a 任意の x について f ( x ) ＞ 0 となるとき  1  a＞0 4a  a ＞ 0 かつ「 a ＜  1 または 1 ＜ a 」 2 2 1 したがって， a ＞ 2 （２） f ( x )  ( a  2)x 2  ( a  2)x  a  1 とおくと題意より a  2 a＞0 かつ   2 f ( x )  ( a  2) x  1  3 a  3 2 4 2 任意の x について f ( x ) ＜ 0 となるとき 3 a  3 ＜0 4 2  a ＜ 2 かつ a ＜  2 したがって， a ＜  2 a  2＜0 133 かつ