解説 - H.Yagyu Web

高３数 γ
No. 5
数列と極限
（理系問題演習／柳生）
2014/5/28
（平成１４年京都大）
問 10
数列 {an } の初項から第 n 項までの和を Sn と表す．この数列が a1 = 1, lim Sn = 1,
n(n − 2)an+1 = Sn (n ! 1) を満たすとき，一般項 an を求めよ．
n→∞
(解)
Sn = n(n − 2)an+1 より
n ! 2 のとき an = Sn − Sn−1 = n(n − 2)an+1 − (n − 1)(n − 3)an
⇐⇒ {1 + (n − 1)(n − 3)}an = n(n − 2)an+1
⇐⇒ (n − 2)2 an = n(n − 2)an+1
が成り立つ．ここで， n $= 2 すなわち n ! 3 とすると
(n − 2)an = nan+1
⇐⇒ (n − 1)(n − 2)an = n(n − 1)an+1
が成り立つので，bn = (n − 1)(n − 2)an (n ! 3) とおくと
bn = bn+1 (n ! 3)
である．ゆえに，bn = b3 (n ! 3) が成り立つので，
(n − 1)(n − 2)an = 2 · 1 · a3 (n ! 3)
したがって
an =
が成り立つ．
2a3
(n ! 3)
(n − 1)(n − 2)
また，n(n − 2)an+1 = Sn において n = 1 とすると 1 · (−1)a2 = S1 = 1 より a2 = −1
よって，n ! 3 のとき
n
!
Sn = 1 + (−1) +
2a3
(k − 1)(k − 2)
k=3
"
#
n
!
1
1
= 2a3
−
k−2 k−1
k=3
"
#
1
= 2a3 1 −
n−1
1
である．ここで lim Sn = 1 より，2a3 = 1 よって a3 = である．
n→∞
2
以上より


1
(n = 1)



−1
(n = 2)
an =


1


(n ! 3)
(n − 1)(n − 2)
備考：an (n ! 3) は以下のように導いてもよい．
n−2
nan+1 = (n − 2)an より an+1 =
an (n ! 3)
n
!
!
!
n!
−3 !
n!
−4 !
n!
−5
2 1
2a3
!
よって an =
·
·
· · · · · · a3 =
!
n−1 n−2 !
n!
−3
4" 3"
(n − 1)(n − 2)
（平成２５年東工大）
π
正の整数 n に対し，0 " x " の範囲において sin 4nx ! sin x を満たす x の区間の長さの総和
2
を Sn とする．このとき， lim Sn を求めよ．
問 11
n→∞
(解)
π
π
0 " x " より " π − x " π
2
2
よって
.θ = π − x
.θ = x
.x
sin 4nx ! sin x ⇐⇒ x + 2kπ " 4nx " (π − x) + 2kπ (k ∈ Z)
⇐⇒
.
.
O
.x
2kπ
(2k + 1)π
"x"
(k ∈ Z)
4n − 1
4n + 1
が成り立つ．
π
ここで 0 " x " であることから，k の範囲は k = 0, 1, · · · , n − 1
2
( 2kπ (2k + 1)π )
,
とし，dk の長さを lk とおく．
（k = 0, 1, · · · , n − 1）
4n − 1 4n + 1
(2k + 1)π
2kπ
lk =
−
4n + 1
4n − 1
(2k + 1)(4n − 1) − 2k(4n + 1)
=
π
(4n + 1)(4n − 1)
(4n − 1) − 4k
=
π
(4n + 1)(4n − 1)
.y
π
4π
=
−
k
4n + 1 (4n + 1)(4n − 1)
であるから，
+
n−1 *
!
π
4π
Sn =
−
k
4n
+
1
(4n
+
1)(4n
−
1)
k=0
.
.x
nπ
4π
(n − 1)n
π
=
−
·
.
4n + 1 (4n +
2
2
" 1)(4n#− 1)
1
2π 1 −
π
π π π
n
#"
# −→(n→∞) − =
=
−"
1
1
1
4 8 8
4+
4+
4−
n
n
n
閉区間 dk を
備考：なお，y = sin x と y = sin 4nx のグラフを図示すると右上のようになる．
（図は n = 3 の場合）
問題では，図の太線部分の区間の長さの和の極限を求めていることになる．
ちなみに，和積公式から不等式を解く方法もなくはないが，計算量が多く，おそらく途中で挫折する．
sin x = sin 4nx の解を先に求めてそれらを小さい順に並べ，グラフの助けを借りて不等式の解の区間を
求めるという方法も考えられないわけではないが，ちゃんと示そうとすると意外と面倒だし，
「グラフ
より．
．
．
」では厳密性には欠ける．図を描いて直感をはたらかせることは重要ですが，図はあくまでも参
考図です．普段の問題練習では厳密性を大事にした解答を心がけてください．

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