(1) dy dx (2)

1
媒介変数 t を用いて
x=
¡t
et ¡
pe ;
2
y=
et + e¡t
2
で表される曲線を C とする．
(1)
dy
を t の式で表せ．
dx
(2) (1) で求めた t の式を用いて，
dy
1
となる t の値を求めよ．
=
2
dx
1
x + k が C と接するとき，実数 k の値を求めよ．
2
p
(4) 曲線 C，直線 x = 2，x 軸，y 軸のすべてで囲まれた部分の面積 S を求めよ．
(3) 直線 y =
（東京農工大学 2009 ）
2
次の問いに答えよ．ただし e は自然対数の底で，log は自然対数を表す．
(1) 数列の和 S =
n
P
k=1
求めよ．
Z
(2) 定積分
log 7
1
p
1p
を求めよ．さらに S = 9 となるような n の値を
2k + 1 + 2k ¡ 1
xex dx の値を I とする．I を超えない最大の整数 m を求めよ．ただし
1:94 < log 7 < 1:95 を使ってもよい．
x tan x
を求めよ．
(3) 極限値 L = lim
cos
x¡1
x!0
（東京農工大学 2008 ）
3
x = sin µ; y = sin 2µ (0 5 µ 5
¼
) が表す曲線を C とする．このとき次の問いに答
2
えよ．
(1) 0 < µ <
dy
¼
のとき
を cos µ の式で表せ．
2
dx
2
(2) x = a (0 < a < 1) における C の接線の方程式が y = p x + b であるとき，a; b を求
3
めよ．
p
(3) a を (2) で求めた値とする．このとき曲線 C と x 軸，2 直線 x = a; x = a のすべてで
囲まれた部分の面積 S を求めよ．
（東京農工大学 2008 ）
4
¡
関数 f(x) = (x2 + 3x)e
¡
また lim (x + 3)e
x!1
x
2
x
2
について次の問いに答えよ．ただし e は自然対数の底とする．
= 0 を使ってもよい．
(1) f0 (x) を求めよ．
(2) y = f(x) の最小値とそのときの x の値を求めよ．
(3) k を定数とするとき，方程式 (x + 3)e¡
x
2
= k の異なる解の個数を，k の値で場合分け
して求めよ．
(4) m を定数とするとき，y = f(x) の表す曲線と直線 y = mx が異なる 3 個の共有点をも
つような m の範囲を求めよ．
（東京農工大学 2008 ）
5
¡!
¡!
¡! ¡!
平面上に jOAj = 2; jOBj = 3; OA ¢ OB = 5 を満たす 3 点 O，A，B がある．直線 OA に
関して点 B と対称な点を C，ÎAOB の二等分線が線分 AB と交わる点を D，直線 AB と直
¡! ¡
! ¡! ¡
!
線 OC の交点を E とする．OA = a ; OB = b とするとき，次の各問に答えよ．
¡
! ¡
!
(1) 次のベクトルを a ; b を用いて表せ．
¡!
‘ OC
¡!
’ OE
¡!
“ OD
(2) 4OAD の面積を S，4OAE の面積を T とする．このとき，
S
の値を求めよ．
T
（東京農工大学 2007 ）
6
a を実数として，関数 f(x) を
f(x) =
Z
¼
0
sin(x ¡ t) sin(2t ¡ a) dt
によって定める．このとき，次の各問に答えよ．
Z¼
(1) 定積分
sin(x ¡ t) sin(2t ¡ a) dt を求めよ．
0
(2) f(x) の最大値を M(a)，最小値を m(a) とする．M(a); m(a) を求めよ．
Z ¼
2
M(a) sin(2a) da を求めよ．
(3) 定積分 I =
0
（東京農工大学 2007 ）
7
座標平面上の点 P(t; t ¡ log t) (t > 0) をとる．P が原点のまわりに 45± だけ回転した点
を Q(x; y) とする．ただし，対数は自然対数とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1) Q の座標 x; y を t を用いて表せ．
(2) t が t > 0 の範囲を動くとき Q が描く曲線を C とする．C が y 軸と交わる点を R とおく．
R における C の接線を ` とする．` の方程式を求めよ．
(3) t が t > 1 の範囲にあるとき，点 Q は接線 ` より上側にあることを示せ．
B
1
(4) 曲線 C，接線 ` および 2 直線 x = p ; x = 2 で囲まれた図形の面積 S を求めよ．
2
（東京農工大学 2007 ）
8
¡
! ¡! ¡
! ¡!
O を原点とする座標空間に 2 点 A(1; 0; 3)，B(2; 5; ¡4) をとり， a = OA; b = OB
とおく．次の問いに答えよ．
¡
! ¡
!
(1) a ; b のなす角を µ (0± 5 µ 5 180± ) とするとき，sin µ の値を求めよ．
¡! ¡
! ¡
!
(2) ベクトル OC が a ; b のいずれとも垂直になるような点 C(x; y; z) のうちで z = 1 と
なるものを求めよ．
(3) 原点 O と (2) で求めた点 C を通る直線を ` とする．点 D(0; 0; 7) から ` に下ろした垂線
が ` と交わる点を P とする．P の座標を求めよ．
(4) 四面体 OABP の体積 V を求めよ．
（東京農工大学 2006 ）
9
1
(x ¡ n)(2n ¡ x) と x 軸で囲まれた部分を y 軸のまわり
n5
に 1 回転してできる回転体の体積を Vn とする．このとき，次の問いに答えよ．
n を自然数とする．曲線 y =
(1) Vn を n を用いて表せ．
(2) an = Vn+1 + Vn+2 + Vn+3 + Ý + V2n とおくとき，U = lim an の値を求めよ．
n!1
（東京農工大学 2006 ）
10 O を原点とする xy 平面上に点 P(cos 2t; sin 2t)，Q(3 cos t; ¡2 sin t) がある．次の問い
に答えよ．
5
(1) t が 0 5 t 5
¼ の範囲を動くとき点 Q の描く曲線を C とする．C 上の 2 点 (3; 0)，
6
p
3 3
$¡
; ¡1< を通る直線を ` とする．このとき，C と ` で囲まれる部分の面積 T の値を
2
求めよ．
(2) 3 点 O; P; Q が一直線上にあるような正の t のうちで最小のものを t0 とする．このとき
sin t0 ; cos t0 の値を求めよ．
(3) 0 < t < t0 のとき，4OPQ の面積を S とする．u = sin t として，S を u の式で表せ．
(4) t が 0 < t < t0 の範囲を動くときの S の最大値を求めよ．
（東京農工大学 2006 ）

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