図チャレ第 151 回 (2014 年 4 月) 2 a を正の定数とする．AB = a, AC = 2a, ∠BAC = π である ABC 3 −→ −→ −→ と， 2 AP − 2 BP − CP = a を満たす動点 P がある．このとき，次の問いに答えよ． −→ 問１辺 BC を 1 : 2 に内分する点を D とするとき， AD を求めよ． −→ 問２ AP の最大値を求めよ．問３線分 AP が通過してできる図形の面積 S を求めよ．出典：2014 年旭川医科大学解答問１ AB : AC = BD : DC = 1 : 2 であるから，AD は ∠BAC の二等分線であり， π ∠BAD = ∠CAD = 3 AD = x とおき， ABC の面積を 2 通りに表すと π 1 1 π 2 1 ax sin + = 2a x sin a 2a sin π 2 3 2 3 2 3 √ 2 3 π = sin π = より sin 3 3 2 −→ 2 ax + 2ax = 2a2 ∴ AD = x = a (答) 3 −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ 2 AP − 2 BP − CP = 2 AP − 2 AP − AB − AP − AC −→ −→ −→ = 2 AB + AC − AP −→ −→ = 3 AD − AP −→ → −→ 2 AP − 2 − BP − CP = a より −→ AP − 3 −→ AD = a −→ −→ 点 P の軌跡は， 3 AD = AE で表される点 E を中心とする半径 a の円であるから， −→ AP の最大値は −→ AE + a = 3 × 2 a + a = 3a (答) 3 問２ — 1 — 問３問２の考察より，線分 AP が通過してできる図形は次図のようになる。 A 面積 S は S= a a π 3 a E √ 4 1 1 π 2 × 2 + a2 π= a 2a sin 3 + π a2 2 3 2 3 3 — 2 — (答)