年 番号 1 4 a > 0 に対し,関数 f(x) が Z f(x) = a ¡a e¡x + f(t) sin tk dt 2a S (2) C1 ; C2 と y 軸で囲まれた領域の面積 S を a と b で表せ. ¼ で囲まれた領域の面積を T とする.このとき,T = 2S となるための (3) C1 ; C2 と直線 x = 2 条件を a と b で表せ. (1) f(x) を求めよ. (2) 0 < a 5 2¼ において, Z ¼ ¼ ; のグラフを C1 ,y = b sin x #0 5 x 5 ; 2 2 のグラフを C2 とし,C1 と C2 の交点を P とする. a と b を正の実数とする.y = a cos x #0 5 x 5 (1) P の x 座標を t とする.このとき,sin t および cos t を a と b で表せ. をみたすとする. g(a) = ( 北海道大学 2013 ) a ¡a f(t) sin t dt 5 区間 ¡1 < x < 1 で定義された連続関数 f(x) に対して の最小値とそのときの a の値を求めよ. F(x) = ( 北海道大学 2016 ) 2 n は自然数,a は a > Z f(x) = x 0 ( 北海道大学 2013 ) 6 (1) x 次の問に答えよ. x3 5 sin x 5 x を示せ. 6 Zx x3 x5 x3 (2) x = 0 のとき, ¡ 5 を示せ. t sin t dt 5 3 30 3 0 (3) 極限値 (1) x = 0 のとき,x ¡ ( 北海道大学 2015 ) f(x) = tf(2x ¡ t) dt (3) F が 3 次多項式で F(1) = f(1) = 1 となるとき,f と F を求めよ. ¼ ; = 0 をみたす n と a の値を求めよ. 2 ¼ (3) (2) で求めた n と a に対して,f # ; を求めよ. 2 3 0 Zx x ;= (x ¡ s)f(s) ds となることを示せ. 2 0 (2) 2 次導関数 F00 を f で表せ. (x ¡ µ)(a sinn+1 µ ¡ sinn¡1 µ) dµ ¼ 3 2x (1) F # (2) f0 # x+ Z とおく. 3 をみたす実数とし,実数 x の関数 2 を考える.ただし,n = 1 のときは sinn¡1 µ = 1 とする. Z ¼ Z ¼ 2 2 n n+1 (1) sin µ dµ = sinn¡1 µ dµ を示せ. n + 1 0 0 Z 氏名 sin µ dµ とおく. lim x!0 f0 (x) を求めよ. (2) 0 5 x 5 ¼ における f(x) の最大値と最小値,およびそのときの x を求めよ. ( 北海道大学 2014 ) sin x ¡ x cos x x3 を求めよ. ( 北海道大学 2012 ) 7 0 < a < 2¼ とする.0 < x < 2¼ に対して Z F(x) = x+a B x 1 ¡ cos µ dµ と定める. (1) F0 (x) を求めよ. (2) F0 (x) 5 0 となる x の範囲を求めよ. (3) F(x) の極大値および極小値を求めよ. ( 北海道大学 2011 ) 8 0 5 x 5 1 に対して f(x) = Z 1 0 e¡jt¡xj t(1 ¡ t) dt と定める.ただし,e = 2:718Ý は自然対数の底である. Z Z t (1) 不定積分 I1 = te dt; I2 = t2 et dt を求めよ. (2) f(x) を x の指数関数と多項式を用いて表せ. 1 (3) f(x) は x = で極大となることを示せ. 2 ( 北海道大学 2010 )
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