(1) f(x) - SUUGAKU.JP

年番号
1
4
a > 0 に対し，関数 f(x) が
Z
f(x) =
a
¡a
e¡x
+ f(t) sin tk dt
2a
S
(2) C1 ; C2 と y 軸で囲まれた領域の面積 S を a と b で表せ．
¼
で囲まれた領域の面積を T とする．このとき，T = 2S となるための
(3) C1 ; C2 と直線 x =
2
条件を a と b で表せ．
(1) f(x) を求めよ．
(2) 0 < a 5 2¼ において，
Z
¼
¼
; のグラフを C1 ，y = b sin x #0 5 x 5
;
2
2
のグラフを C2 とし，C1 と C2 の交点を P とする．
a と b を正の実数とする．y = a cos x #0 5 x 5
(1) P の x 座標を t とする．このとき，sin t および cos t を a と b で表せ．
をみたすとする．
g(a) =
（北海道大学 2013 ）
a
¡a
f(t) sin t dt
5
区間 ¡1 < x < 1 で定義された連続関数 f(x) に対して
の最小値とそのときの a の値を求めよ．
F(x) =
（北海道大学 2016 ）
2
n は自然数，a は a >
Z
f(x) =
x
0
（北海道大学 2013 ）
6
(1)
x
次の問に答えよ．
x3
5 sin x 5 x を示せ．
6
Zx
x3
x5
x3
(2) x = 0 のとき，
¡
5
を示せ．
t sin t dt 5
3
30
3
0
(3) 極限値
(1) x = 0 のとき，x ¡
（北海道大学 2015 ）
f(x) =
tf(2x ¡ t) dt
(3) F が 3 次多項式で F(1) = f(1) = 1 となるとき，f と F を求めよ．
¼
; = 0 をみたす n と a の値を求めよ．
2
¼
(3) (2) で求めた n と a に対して，f # ; を求めよ．
2
3
0
Zx
x
;=
(x ¡ s)f(s) ds となることを示せ．
2
0
(2) 2 次導関数 F00 を f で表せ．
(x ¡ µ)(a sinn+1 µ ¡ sinn¡1 µ) dµ
¼
3
2x
(1) F #
(2) f0 #
x+
Z
とおく．
3
をみたす実数とし，実数 x の関数
2
を考える．ただし，n = 1 のときは sinn¡1 µ = 1 とする．
Z ¼
Z ¼
2
2
n
n+1
(1)
sin
µ dµ =
sinn¡1 µ dµ を示せ．
n
+
1
0
0
Z
氏名
sin µ dµ とおく．
lim
x!0
f0 (x) を求めよ．
(2) 0 5 x 5 ¼ における f(x) の最大値と最小値，およびそのときの x を求めよ．
（北海道大学 2014 ）
sin x ¡ x cos x
x3
を求めよ．
（北海道大学 2012 ）
7
0 < a < 2¼ とする．0 < x < 2¼ に対して
Z
F(x) =
x+a B
x
1 ¡ cos µ dµ
と定める．
(1) F0 (x) を求めよ．
(2) F0 (x) 5 0 となる x の範囲を求めよ．
(3) F(x) の極大値および極小値を求めよ．
（北海道大学 2011 ）
8
0 5 x 5 1 に対して
f(x) =
Z
1
0
e¡jt¡xj t(1 ¡ t) dt
と定める．ただし，e = 2:718Ý は自然対数の底である．
Z
Z
t
(1) 不定積分 I1 =
te dt; I2 =
t2 et dt を求めよ．
(2) f(x) を x の指数関数と多項式を用いて表せ．
1
(3) f(x) は x =
で極大となることを示せ．
2
（北海道大学 2010 ）

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