応用理工学類応用数学 I Quiz 8 解説
問１ラプラス変換の定義に従って、次に挙げる代表的関数のラプラス変換 F (s) = L [f (x)]
を求めよ。（それぞれの場合の収束領域も明示すること。a は正の実定数とする。）
x のベキ：f (x) = x2
[ −sx ]∞
[ −sx ]∞ ∫ ∞ −sx
∫ ∞ −sx
∫ ∞
e
e
e
2
e
−sx 2
2
x
−
2xdx = −
2x
+2
dx = 3 収束は Re(s) > 0
e x dx =
2
2
−s
−s
s
s
s
0
0
0
0
0
指数関数：f (x) = eax
∫ ∞
∫
−sx ax
e e dx =
0
∞
e−(s−a)x dx =
0
1
s−a
収束は Re(s) > Re(a)
三角関数：f (x) = sin ax
{
}
∫ ∞
∫
}
1
1
1 ∞ { −(s−ia)x
1
−(s+ia)x
−sx
e
−e
dx =
収束は Re(s) > 0
e
sin axdx =
−
2i 0
2i s − ia s + ia
0
問２次に従ってラプラス変換の代表的な性質を体得せよ。ここで、L [f (x)] は関数 f (x)
のラプラス変換を表す。（a, b は正の実定数、n は自然数とする。）
(1) ラプラス変換の性質
L [eax f (x)] (s) = L [f (x)] (s − a)
と問１の結果をもとに次を求めよ。
{
}
[
]
1
1
1
2
ax
−
, L eax x2 =
L [e sin bx] =
2i (s − a) − ib (s − a) + ib
(s − a)3
(2) ラプラス変換の性質
(
)
d n
L [x f (x)] = −
L [f (x)]
ds
n
と問１の結果をもとに次を求めよ。
[ ]
[
]
6
1
i
i
L x3 = 4 , L [xeax ] =
, L x2 sin ax = −
+
2
3
s
(s − a)
(s − ia)
(s + ia)3
(3) ラプラス変換の性質
[
]
L f ′ (x) (s) = sL [f (x)] (s) − f (0)
とここまでのテクニックを総動員して次を求めよ。
[
]}
[
] 1 { [ (a+bi)x 3 ]
3
3
L x3 eax cos bx =
L e
x + L e(a+bi)x x3 =
+
4
2
{s − (a + bi)} {s − (a − bi)}4