複素関数論演習問題解答木村泰紀∗ 2014 年 5 月 2 日出題問題 1. 次の式で定義される関数 f の微分可能性をコーシー・リーマンの関係式を用いて調べよ. (i) f (z) = (z − 1)2 , (ii) f (z) = 2z + 3iz, (iii) f (z) = 1 . z+1 解答 (i) z = x + iy とし, f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) とすると f (x + iy) = (x + iy − 1)2 = x2 + i2 y 2 + (−1)2 + 2ixy − 2iy − 2x = x2 − y 2 + 1 + 2ixy − 2iy − 2x = (x2 − 2x − y 2 + 1) + i(2xy − 2y) より, u(x, y) = x2 − 2x − y 2 + 1, v(x, y) = 2xy − 2y. ここで ∂u = 2x − 2, ∂x ∂u = −2y, ∂y ∂v = 2y, ∂x ∂v = 2x − 2 ∂y より ∂u/∂x = ∂v/∂y および ∂v/∂x = −∂u/∂y が成り立つ. すべての z においてコーシー・リーマンの関係式が成り立つので, f はすべての z において微分可能であり, f 0 (z) = ∂u ∂v +i = (2x − 2) + 2iy = 2(x + iy) − 2 = 2z − 2. ∂x ∂x (ii) z = x + iy とし, f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) とすると f (x + iy) = 2(x + iy) + 3i(x − iy) = 2x + 2iy + 3ix + 3y = (2x + 3y) + i(3x + 2y) より, u(x, y) = 2x + 3y, v(x, y) = 3x + 2y. ここで ∂u = 2, ∂x ∂u = 3, ∂y ∂v = 3, ∂x ∂v =2 ∂y より ∂u/∂x = ∂v/∂y だが ∂v/∂x = −∂u/∂y でない. よってどの z に対してもコーシー・リーマンの関係式が成り立たず, f は微分可能でない. ∗ 東邦大学理学部情報科学科. http://www.lab2.toho-u.ac.jp/sci/is/kimura/yasunori/ 1 (iii) z = x + iy とし, f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) とすると 1 x + 1 − iy = x + iy + 1 (x + 1 + iy)(x + 1 − iy) x + 1 − iy = (x + 1)2 + y 2 x + 1 − iy = 2 x + 2x + 1 + y 2 f (x + iy) = より, u(x, y) = x+1 , x2 + 2x + 1 + y 2 v(x, y) = −y . x2 + 2x + 1 + y 2 ここで ∂u ∂x ∂v ∂x ∂u ∂y ∂v ∂y (x2 + 2x + 1 + y 2 ) − (x + 1)(2x + 2) x2 + 2x + 1 + y 2 − 2x2 − 4x − 2 −x2 − 2x − 1 + y 2 = = 2 , 2 2 2 2 2 2 (x + 2x + 1 + y ) (x + 2x + 1 + y ) (x + 2x + 1 + y 2 )2 0 − (−y)(2x + 2) 2y(x + 1) = 2 = 2 , 2 2 (x + 2x + 1 + y ) (x + 2x + 1 + y 2 )2 0 − (x + 1)2y −2y(x + 1) = 2 = 2 2 2 (x + 2x + 1 + y ) (x + 2x + 1 + y 2 )2 2 2 −(x + 2x + 1 + y ) − (−y)2y −x2 − 2x − 1 + y 2 = = (x2 + 2x + 1 + y 2 )2 (x2 + 2x + 1 + y 2 )2 = より ∂u/∂x = ∂v/∂y および ∂v/∂x = −∂u/∂y が成り立つ. また, これらの偏導関数は分母が 0, すなわち x = −1, y = 0 のときを除いて連続である. つまり, f は z 6= −1 + 0i = −1 を除くすべての z において微分可能であり, f 0 (z) = ∂u ∂v −x2 − 2x − 1 + y 2 2y(x + 1) +i = 2 +i 2 2 2 ∂x ∂x (x + 2x + 1 + y ) (x + 2x + 1 + y 2 )2 2 2 −x − 2x − 1 + y + 2ixy + 2iy = (x2 + 2x + 1 + y 2 )2 2 −(x − y 2 + 1 − 2ixy − 2iy + 2x) = ((x + 1)2 + y 2 )2 2 2 2 −(x + i y + 1 − 2ixy − 2iy + 2x) = ((x + 1)2 − i2 y 2 )2 −(x − iy + 1)2 = ((x + 1 + iy)(x + 1 − iy))2 −1 = (x + 1 + iy)2 −1 = . (z + 1)2 2