9月23日演習解答［1］平方して −1 となるような「数」の一つを i で表わす

９月２３日演習解答
［１］
平方して −1 となるような「数」の一つを i で表わす．
［２］
(x + iy)2 = (x2 − y 2 ) + i 2xy なので，z 2 = i の実部，虚部を比較して x2 − y 2 = 0, 2xy = 1 を得る．こ
こで，x2 − y 2 = (x − y)(x + y) なので，x − y = 0 または x + y = 0．
√
(a) x − y = 0 の場合，2xy = 1 と併せて 2x2 = 1 を得る．これから，x = ±1/ 2．したがって，(x, y) =
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√
√
√
(1/ 2, 1/ 2), (−1/ 2, −1/ 2)．
(b) x + y = 0 の場合，2xy = 1 と併せて −2x2 = 1 を得る．しかし，x は実数なので，2x2 ≥ 0．したがっ
て，x + y = 0, 2xy = 1 をみたす実数の組 (x, y) は存在しない．
√
√
√
√
以上のことから，(x, y) = (1/ 2, 1/ 2), (−1/ 2, −1/ 2)．
実数の連続性から，実数 x ≥ 0 に対して y 2 = x となるような実数 y ≥ 0 が唯一つ存在することが従う．
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√ √
このとき，y = x と表わす．さらに，実数 a, b ≥ 0 に対して ab = a b が成立する．しかし，ここで
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√
√ √
の計算では i の意味が明らかでないし，公式 ab = a b の適用範囲を逸脱している．
√
補足．複素函数論では，z ∈ C に対して w2 = z となる w ∈ C をまとめて z で表わす．したがって，
√
√
√
√
0 = 0 であるが，z ̸= 0 なら z は 2 価である．例えば， i = ±(1 + i)/ 2．
［３］
t3 − 1 = (t − 1)(t2 + t + 1)．さらに，二次方程式 t2 + t + 1 = 0 の解は t = (−1 ±
√
ここで，ω = (−1 + 3i)/2 とおけば，
√
√
( −1 + √3i )2
−2 − 2 3i
−1 − 3i
2
=
=
ω =
2
4
2
√
3i)/2 で与えられる．
さらに，(t − ω)(t − ω 2 ) = t2 + t + 1 の両辺に t = 1 を代入して，(1 − ω)(1 − ω 2 ) = 3 を得る．
別証．ω を t2 + t + 1 = 0 の解の一つとする．このとき，ω 3 = 1 なので，(ω 2 )2 + ω 2 + 1 = ω 2 + ω + 1 = 0．
さらに，ω ̸= 0, 1 なので，ω 2 ̸= ω ．したがって，二次方程式 t2 + t + 1 = 0 の解は ω, ω 2 によって与えら
れる．
［４］
2001 = 3 × 23 × 29
［５］
198 = 2 × 32 × 11, 504 = 23 × 32 × 7 なので，
最大公約数 = 2 × 32 = 18, 最小公倍数 = 23 × 32 × 7 × 11 = 5544

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