応用数学II 岩谷素顕 9-1 今日の内容積分路が単一閉曲線になる周回積分について  コーシーの積分定理  正則関数の積分について  コーシーの積分公式  グルサーの公式 9-2 周回積分積分路を単一閉曲線で取る  f x dx  0 a 実積分の場合は必ず積分は 0 となる a 複素積分の場合は？  f z dz  ?? C C 積分路をCと取った周回積分を表す普通に考えたら 0 となるはず・・・・ 9-3 1 これから学ぶ周回積分の解き方積分路内は全て正則  C f z  dz z  D コーシーの積分公式 f z  D グルサーの公式 n 極複数個の極が存在する 9-4 C α  z    dz C C コーシーの積分定理留数定理 C 極 D これらの公式を使って積分を解いていきますコーシーの積分定理コーシーの積分定理関数f(z)が、単一閉曲線Cで囲まれる領域Dで正則でC上で連続であるとき、公式  f z dz  0 C が成り立つ C D 9-5 証明 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)としたとき、u,vが偏導関数を持つ場合においてコーシーの積分定理が成り立つことを証明する。  f z dz   u  iv dx  idy    udx  vdy   i  udy  vdx  C C C グリーンの公式閉曲線Cにそったf(z)= u(x,y)+iv(x,y)の周回積分はCが囲む領域D上の2重積分に書き直すことができる。  f z dz  i  C D  u v   v u       i   dxdy  x y   x y   C C D 9-6 2 グリーンの公式よりCの内部をAとすると、  udx  vdy   i  udy  vdx  C C  u v   u v       dxdy  i    dxdy A y A x    x y  となる。f(z)はCおよびAで正則だから、そこでコーシー･リーマンの微分方程式が成り立ち u v  x y u v  y x であるから、  f  z dz  0 が成り立つ。 9-7 C 次に、n箇所正則でない部分を含んだ領域Cについて考える。この時、正則でないn箇所を囲んだC1、C2・・・Cnを持ち出したならば領域Cの積分値が領域ならば、領域Cの積分値が領域 C1、C2・・・Cnの積分値の総和になる。すなわち D C1 C2 Cn C  f z dz   f z dz   f z dz       f z dz C C1 C2 Cn 9-8 証明 n=1の時は、CとC1を曲線1、1’を曲線で結び、D内の2つの単一閉曲線L1、L1’を考えると、コーシーの積分定理より、  f z dz  0  f z dz  0 以上より  f  z dz   f  z dz  0 L1 L1 1 L1 L1 C C L1 1、 1’の部分は反対の方向に2回積分されて打ち消されるから結局、  C1 1’ 1’ 1 L1’ f  z dz   f  z dz C1 一般の場合も、n=1の時と同様に考えれば 9-9  f z dz   f z dz   f z dz       f z dz C C1 C2 Cn となる。 3 例題/演習右下図のような原点中心の半径1の円を積分路とするとき、下記の積分の値はどうなるかを求めよ。 (1) y i  zdz C1 C 関数zは全ての領域において正則なので積分値は0となる。 (2) z 256 C -１１ O x -i dz 関数zは全ての領域において正則なので積分値は0となる。 9-10 演習右下図のような原点中心の半径1の円を積分路とするとき、下記の積分の値はどうなるかを求めよ。 (3)  C y i 1 dz z2 -１関数zはz=2において正則ではない。しかし、積分路領域において正則なので積分値は0となる正則なので積分値は0となる。 (4) C1 １ O x -i  sin zdz C 関数zは全ての領域において正則なので積分値は0となる。 9-11 例題下左図のような領域において、  C 2z dz 2 z 1 を計算せよ。  C 2z dz z 1 2 y C C C1 -1 1 x -1 C2 1 x は z=±1を除く全領域で正則であるは、z=±1を除く全領域で正則である。よって、右図に示すような積分路を考えれば以下のように式変形が可能である。  C 9-12 2z 2z 2z dz   2 dz   2 dz C1 z  1 C2 z  1 z 1 2 4 2z 2z 1 1    となるので、 z 2  1  z  1 z  1 z  1 z  1 また 2z 2z dz   2 dz   C z 1 C1 z  1 C2 1 1 dz   dz    C1 z  1 C1 z  1 C2 1 1 dz   dz  C1 z  1 C2 z  1  2 2z dz z 1 1 1 dz   dz C 2 z 1 z 1 2 9-13 dz 1  ireit dz はC1: z=reit-1(r：円の半径）とすると、 z 1 dt  C1 よって、 C 1 2 2 1 1 2 dz    ire it dt   idt  it 0  2i it 0 0 re  1  1 z 1 同様に、  C2 dz 1  ireit +1( ：円の半径）とすると、円の半径）とすると d はC2: z=reit+1(r dz dt z 1 よって、 C 2 以上より 2 2 1 1 2 dz    ire it dt   idt  it 0  2i it 0 0 re  1  1 z 1  C 9-14 2z 1 1 dz   dz   dz  4i C C 1 z 1 2 z 1 z 1 2 正則関数の積分についてコーシーの積分定理を使う事によって、複素積分の積分路は、その関数が正則な領域内で任意の形に変形できる事が示される。積分路の変形について 2点P,Qを結ぶ曲線C1、C2にそったf(z)の積分 C f z dz と C f  z dz を考える。曲線C1、C2で囲まれる領域D 内でf(z)が正則ならば、コが正則ならば、コーシーの積分定理により、シの積分定理により、 2 1  f z dz   C1  C2 C f  z dz   f  z dz   f  z dz  0 C1 C2 となるので次の式が成り立つ。  f z dz   f z dz C1 C2 このことから、f(z)が正則な領域内で積分路をC1からC2に変形できる事がわかる。 Q C C2 P D C1 9-15 5 周回積分の変形について f(z)が2つの閉曲線C,C’で囲まれた領域D内で正則ならば、Cにそったf(z)の周回積分  f  z dz は、CとC’に挟ま C れた領域内の任意の閉曲線C1、 C2、・・・にそった周回積分に等しい。すなわち次の式が成り立つ。 C1 C’ C2 C D d   f  z dz d   f  z dz d       f z dz d 0  f z dz C C1 C C2 これらのことから、複素積分を求めるためには、必ずしも与えられた積分路にそって積分する必要はなく、被積分関数が正則な領域内で積分が最も簡単に実行できるように積分路を適当に変形して、積分を実行すれば良いことが分かる。 9-16 不定積分について領域Dで定義され、そこで正則な関数f(z)を考えてみる。D内の2点z0と z1をDに含まれる曲線Cで結ぶと、C z1 に沿う積分の値は、  z0 z0とz1だけで決まる D f ( z )dz もし積分の始点z0を固定したとすれば上式はz1だけの関数とすれば、上式は z なる。そこで、これをｚ1 C ｚ0 曲線Cの形にはよらない F  z    f ( )d z0 と書いたとき、関数F(z)のことをf(z)の不定積分または原始関数という。このとき、F(z)はDで正則であり、 dF z   f  z  が成り立つ。 dz 9-17 この式の証明 C f z dz は領域Dにおいてf(z)が正則であるためz0とzのみで定まり、積分路Cに無関係である。したがってこの積分路を下記のように書き換えると F  z    f ( )d z D ｚ z0 F(z)はDで定義された関数になる。zは領域Dの点であるので、zを中心として半径の十分小さい円がDに含まれていると考える。|z|をこの半径より十分に小さくとって、zとz+zを線分で結ぶと、 F  z  z   F  z    C  z  z また、 z ｚ+z ｚ0 f ( )d   f ( )d   f ( )d   f ( z ) d  f ( z )  F  z  z   F  z   f  z z   C z  z z  z  z z d  f  z z f ( ) d  z  z z  z  z z f ( )d なので f ( z ) d  z  z   f ( )  f ( z )d z 9-18 6 f(z)は連続だから、任意の正数e>0に対して、|z|を十分小にとれば、上の任意の点zに対し、 f ( )  f ( z )  e または線分であるから、その長さは|z|である。 f z dz   f z  dz   f  z  dz  ML C t1 また、 C より、下記の関係が成り立つ。 t2 z  z   f ( )  f ( z )d z F z  z   F  z   f z   e z |z|が十分に小さければ微分の定義式よって、 lim z  0  e z F  z  z   F  z   f z  z 9-19 次に、一般に正則な関数f(z)が存在したとき、G(z)をf(z)の不定積分だとした場合、D内の任意の2点a、bに対して、  b a f ( z )dz  G z   G b   G a  b a が成り立つ。この証明としては、 F z    f ( )d とおくと、 F z   f z  G  z   f  z  なので、 a z F z   G ( z )   0 とおける。したがって、F z   G ( z )  C ((C:定数） F  z    f ( )d  G ( z )  C z a ここで、z=aとおくと F  z   上の式は  z a f ( )d は0となるので、 0  G ( a )  C  C  G a  F  z    f ( )d  G ( z )  G a  z よって、 a 9-20 F  z    f ( )d  G ( z )  G a  z a z=bとおけば、  b a f ( z )dz  G  z   G b   G a  となる。 b a この公式は、実関数の微積分の基本定理に相当する。実この公式は実関数の微積分の基本定理に相当する実関数のときはf(z)の連続性で、この公式が得られたが、複素関数では、積分が積分路に関係するから不定積分が確定しない。しかし、D領域において正則な場合には、コーシーの積分定理により不定積分が成立し、上記の式が成り立つ。 9-21 7 コーシーの積分公式コーシーの積分定理とは『ある領域内で関数が正則ならば、関数の積分値は０』であるが、『ある領域内で関数が正則』という条件があれば、次のような積分公式が得られる。 9-22 コーシーの積分公式 f(z) は領域D で正則である。D 内に単一閉曲線C がありC の内部は領域D に含まれているとする。任意の点がC の内部にあれば次の等式が成り立つ。 α C D 1 f z  f ( )  dz  C 2i z   f z   dz  2i  f ( ) C z  9-23 ただし、積分はCが囲む領域に対して、正の向きに行うものとする。証明 を中心とし、半径rの正方向の閉曲線C1をCの内部に書くと zf z はC,C1の周およびそれで囲まれた領域で正則だからコーシーの積分定理より  C f z  f z  dz   dz C1 z   z  1 f z  1 f z  よって、 dz  dz   C C 1 2i z   2i z   f  z   f    f   1  dz z  2i C1 f  z   f   f   1 1  dz  dz z  2i C1 2i C1 z   f  z   f   1 9-24 dz  f   z  2i C1 8 この時、f(z)はz=で連続だから、任意の正数e>0に対して、r を十分小さくとればz∈C1に対し、|f(z)-f()|<eとできる。 1 f  z   f   1 dz  2i C1 z  2  C1 したがって、r→0のとき一方 f  z   f   e e dz  dz   2r  e z  2r C1 2r f  z   f   1 dz  0 z  2i C1 1 f z  dz , f   はrに無関係である。したがって、  C 2i z   f ( )  1 f z  dz  C 2i z   が成り立つ。 9-25 コーシーの積分公式の使い方コーシーの積分公式の使い方としては3つのステップを考えると使いやすい (A) 領域C の中から正則にならない原因の点(『分母＝０』となる点) を探す (B) (A)の項を除外して，正則な関数を除外則な数f(z) を引っ張り出すをす (C) 『公式のa ⇒ (A) の点』・『公式のf(z) ⇒ (B) のf(z)』として公式に代入 f z  1 dz 2i C z   f z  dz  2i  f ( ) z  f ( )   9-26 C 演習次の積分の値を求めよ。ただし、各積分路は正方向とする。 (1)  C z3 dz C={z| |z|=4} z i y  C z3 dz  2i  i 3  2 z i 4i C とし、=iとして、コーシーの積分公式を用いると、 f(z)=z3 O x 4 9-27 9 演習次の積分の値を求めよ。ただし、各積分路は正方向とする。 z  7  z z  i dz z f z   2 (2) 2 C  C={z| |z|=2}  7  z とすると、この関数はCおよびその内部で正則である。=iiとしてコとしてコーシーの積分公式よりシの積分公式より y z 1 2i  dz  7  z  z  i  C 2  2 i   2i    2 7i 8 4 C O x 2 9-28 今日のまとめ  コーシーの積分定理  コーシーの積分公式 9-29 10