3.1 積分因子 1 3.1 積分因子 ¶ 積分因子 ³ 完全微分形ではない全微分方程式 M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 に，適当な関数 µ(x, y) ̸≡ 0 をかけて得られる方程式 µ(x, y)M (x, y)dx + µ(x, y)N (x, y)dy = 0 が完全微分形になるとき，µ(x, y) をこの微分方程式の積分因子 (integrating factor) という． µ ¶ 積分因子の見つけ方 ´ ³ I. µ(x, y) = µ(x) のとき N ∂M ∂N ∂µ = µ( − ) ∂x ∂y ∂x より 1 1 ∂M ∂N dµ = ( − )dx. µ N ∂y ∂x ここで ∂N 1 ∂M ( − ) N ∂y ∂x が x だけの関数なら積分因子は ∫ 1 µ(x) = exp{ [My − Nx ]dx} N II. µ(x, y) = µ(y) のとき −M ∂µ ∂M ∂N = µ( − ) ∂y ∂y ∂x より 1 1 ∂M ∂N dµ = − ( − )dy. µ M ∂y ∂x ここで 1 ∂M ∂N ( − ) M ∂y ∂x が y だけの関数なら積分因子は ∫ µ(y) = exp{− 1 [My − Nx ]dy} M となる． µ 3.1.1 演習問題 1. 次の微分方程式の一般解を求めよ． (a) (x − y 2 )dx + 2xydy = 0 (b) (5xy + 4y 2 + 1)dx + (x2 + 2xy)dy = 0 (c) (2xy 2 + y)dx + (2y 3 − x)dy = 0 (d) (2x + tan y)dx + (x − x2 tan y)dy = 0 2. 次の微分方程式を解け． (a) (2y 2 − xy)dx + (2x2 − 3xy)dy = 0 (b) (y 4 + 2x3 y)dx − (x4 + 2xy 3 )dy = 0 ´ 2 3.2 線形微分方程式 ¶ 線形微分方程式 ³ 1 階線形微分方程式は a1 (x)y ′ + a0 (x)y = f (x) または標準形 y ′ + P (x)y = Q(x) または全微分形 (P (x)y − Q(x))dx + dy = 0 で表わすことができる．ここで M (x, y) = P (x)y − Q(x), N (x, y) = 1 より My , Nx を求めると My = P (x), Nx = 0 よって (1/N )[My − Nx ] = P (x) は x だけの関数．そこで前節で学んだように積分因子を求めると R µ=e R となる．この積分因子 µ(x) = e P (x)dx R y′ e となり，左辺は ye R P (x)dx P (x)dx を標準形 y ′ + P (x)y = Q(x) にかけると P (x)dx + P (x)ye R P (x)dx R = Q(x)e P (x)dx の導関数より R ye ∫ P (x)dx よって一般解は y = e− R = P (x)dx R Q(x)e P (x)dx dx + c. ∫ R ( Q(x)e P (x)dx dx + c) で与えられる． µ ´ 3.2.1 演習問題 1. 次の微分方程式を解け． (a) y ′ cos x − y sin x + ex = 0 (b) y ′ + 2xy = 2x (c) xy ′ + y = x sin x 2. 次の初期値問題を解け． (d) xy ′ + (1 + x)y = e−x sin 2x (a) y ′ + (cos x)y = e− sin x , y(0) = 2 (b) (x log x)y ′ − y = log x, y(e) = −1{ (c) y ′ + y = f (x), y(0) = 0, f (x) = ′ 1, 0 ≤ x < 1 0, x ≥ 1 (d) y + (tan x)y = cos x, { y(0) = −1 5 − t, 0 ≤ t ≤ 5 3. R = 10Ω, E = 20V, L = の RL 回路で i(0) = 0 のとき，i(t) を求めよ． 0, 5 ≤ t 2