第 5回 - 東邦大学

情報数理 IIB 演習問題解答
木村泰紀∗
2014 年 10 月 23 日出題
問題 1. X, Y をそれぞれ距離空間とする. 次の問いに答えよ.
(i) A, B がともに X の閉部分集合のとき, A ∩ B も閉であることを点列の収束を用いて証明せよ.
(ii) f : X → Y と g : X → Y がともに連続のとき,
D = {x ∈ X : f (x) 6= g(x)}
は開集合であることを示せ.
解答
(i) {xn } を x0 に収束する A ∩ B の点列とするとき, x0 ∈ A ∩ B となることを示せばよい. {xn } ⊂
A ∩ B ⊂ A より, {xn } は A の点列でもあり, A は閉であるから x0 ∈ A が得られる. 同様にして,
{xn } ⊂ A ∩ B ⊂ B より, {xn } は B の点列でもあり, B は閉であるから x0 ∈ B も得られる. よって
x0 ∈ A ∩ B であり, A ∩ B は閉であることが示された.
(ii) C = DC = {x ∈ X : f (x) = g(x)} とするとき, C が閉集合であることを示せばよい. {xn } を x0 ∈ X
に収束する C の点列とするとき, 各 n ∈ N に対して xn ∈ C より f (xn ) = g(xn ) が成り立つ. よって, f, g の
連続性を用いると
f (x0 ) = lim f (xn ) = lim g(xn ) = g(x0 ).
n→∞
n→∞
よって x0 ∈ C となり, C は閉集合, すなわち, D は開集合であることが示された.
問題 2. A を距離空間 X の部分集合とする. このとき, 次の命題が同値であることを示せ.
(i) x ∈ A;
(ii) x に収束する A の点列 {xn } が存在する.
解答
まず (i) を仮定し (ii) を示す. x ∈ A とすると, 閉包の定義より任意の r > 0 に対して Ur (x) ∩ A 6= ∅
が成り立つ. ここで各 n ∈ N に対し r = 1/n とすると, U1/n (x) ∩ A は空でないので xn ∈ U1/n (x) ∩ A をみ
たす xn ∈ X をとることができる. このようにして構成した {xn } は A の点列であり, 開球の定義より
d(xn , x) <
1
n
を各 n ∈ N でみたす. ここで n → ∞ として極限をとると limn→∞ d(xn , x) = 0 であるから, {xn } は x に収
束する. よって (ii) が得られた.
∗
東邦大学理学部情報科学科. http://www.lab2.toho-u.ac.jp/sci/is/kimura/yasunori/
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次に (ii) を仮定し (i) を示す. x に収束する A の点列 {xn } が存在すると仮定すると, A ⊂ A が常に成り立
つことから {xn } は A の点列でもある. ここで A は閉集合だから {xn } の極限 x は x ∈ A をみたし, (i) が得
られた.
以上より, これらの条件は同値であることが示された.
問題 3. {xn } を距離空間 X の収束点列で, その極限を x ∈ X する. また y ∈ X とする. このとき, ある
M ≥ 0 が存在して
d(xn , y) ≤ M
が任意の n ∈ N に対して成り立つことを示せ.
解答
{xn } が x に収束するので, = 1 に対してある n0 ∈ N が存在して, n ≥ n0 をみたす任意の n ∈ N に
対して
d(xn , x0 ) ≤ 1
が成り立つ. ここで, M1 = 1 + d(x, y) とすると
d(xn , y) ≤ d(xn , x) + d(x, y) ≤ 1 + d(x, y) = M1
が n ≥ n0 をみたす任意の n ∈ N に対して成り立つ. そこで,
M = max{d(x1 , y), d(x2 , y), . . . , d(xn0 −1 , y), M1 }
とすると, 任意の n ∈ N に対して
d(xn , y) ≤ M
が成り立つ. よって示された.
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