複素関数論演習問題解答木村泰紀∗ 2014 年 6 月 20 日出題問題 1. 関数 f (z) = 1 について, 次の問いに答えよ. z(z − 1)2 (i) f (z) を部分分数分解せよ. (ii) |z − 1| < 1 をみたす z ∈ C に対し, z0 = 1 におけるローラン展開を求めよ. (iii) |z| < 1 をみたす z ∈ C に対し, z0 = 0 におけるローラン展開を求めよ. 解答 (i) f (z) を部分分数分解するには, f (z) = b c a + + z z − 1 (z − 1)2 として, a, b, c を求めればよい. 通分して a b c a(z − 1)2 + bz(z − 1) + cz + + = 2 z z − 1 (z − 1) z(z − 1)2 az 2 − 2az + a + bz 2 − bz + cz = z(z − 1)2 (a + b)z 2 + (−2a − b + c)z + a = . z(z − 1)2 これが f (z) と等しいことから, 係数を比較して a + b = 0, −2a − b + c = 0, a = 1 をみたすことがわかる. このことより a = 1, b = −1, c = 1 を得る. よって f (z) の部分分数分解は f (z) = 1 1 1 − + . z z − 1 (z − 1)2 (ii) (i) の結果より, 1/z の項を考えると, z0 = 1 のまわりで正則なのでテイラー展開できて ∞ ∞ ∑ ∑ 1 1 = = (1 − z)n = (−1)n (z − 1)n . z 1 − (1 − z) n=0 n=0 よって, z0 = 1 におけるローラン展開は ∞ f (z) = ∑ 1 1 − + (−1)n (z − 1)n 2 (z − 1) z − 1 n=0 = (z − 1)−2 − (z − 1)−1 + 1 − (z − 1) + (z − 1)2 − · · · ∗ 東邦大学理学部情報科学科. http://www.lab2.toho-u.ac.jp/sci/is/kimura/yasunori/ 1 となる. (iii) (i) の結果より, −1/(z − 1) の項を考えると, z0 = 0 のまわりで正則なのでテイラー展開できて − ∞ ∑ 1 1 = = zn. z−1 1 − z n=0 一方, 1/(z − 1)2 の項を考えると, z0 = 0 のまわりで正則なのでテイラー展開できる. g(z) = 1/(z − 1)2 = (z − 1)−2 とすると g 0 (z) = −2(z − 1)−3 g 00 (z) = 6(z − 1)−4 g 000 (z) = −24(z − 1)−5 ··· g (n) (z) = (−1)n (n + 1)!(z − 1)−n−2 (n = 0, 1, 2, . . . ) より g (n) (0) (−1)n (n + 1)!(0 − 1)−n−2 = = (−1)n (n + 1)(0 − 1)−n−2 = (−1)−2 (n + 1) = n + 1. n! n! したがって, g(z) の z0 = 0 でのテイラー展開は g(z) = ∞ ∑ (n + 1)z n . n=0 以上より, f (z) の z0 = 0 におけるローラン展開は f (z) = ∞ ∞ 1 ∑ n ∑ + z + (n + 1)z n z n=0 n=0 ∞ = 1 ∑ + (n + 2)z n z n=0 = z −1 + 2 + 3z + 4z 2 + 5z 3 + · · · となる. 2