《資料 1》2変数関数のグラフ z = f (x, y) z y x b a O 傾き fy (a, b) z 傾き fx (a, b) z z = f (x, b) z = f (a, y) b O y x a O y = b での切り口 x = a での切り口 ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// (1) z “ x2 ` y 2 (2) z “ x2 ´ y 2 2 1 1 0.5 0 0 -1 -0.5 -2 4 -1 1 3 0.5 2 0 1 -0.5 0 -2 -1 -1 -1 -0.5 0 0 1 0.5 2 1 $ ’ & a 2xy x2 ` y 2 (3) z “ ’ % 0 ppx, yq ‰ p0, 0qq (4) z “ ppx, yq “ p0, 0qq $ & 2xy ` y2 0 x2 % ppx, yq ‰ p0, 0qq ppx, yq “ p0, 0qq 1 0.5 0 -0.5 -1 -1 1 0.5 0 4 1 0.5 0 -0.5 -1 -4 2 0 -2 -0.5 -2 0 -0.5 0 2 0.5 4 -4 1 -1 原点において連続かつ偏微分可能だが, 全微分可能で ない. (x 軸, y 軸以外の方向には微分可能でない.) 2x2 y x4 ` y 2 (5) z “ % 0 $ & 原点において偏微分可能だが連続でない. (x 軸, y 軸 以外の原点を通る任意の直線に沿っては原点で連続で ない.) $ ’ & 2xy sin a 1 x2 ` y 2 (6) z “ ’ % 0 ppx, yq ‰ p0, 0qq ppx, yq “ p0, 0qq ppx, yq ‰ p0, 0qq ppx, yq “ p0, 0qq 0.1 1 0.5 0 -0.5 -1 0.4 0 2 0.2 -0.1 0 -0.4 0 -2 -0.2 -0.2 0 0 -2 2 0.2 0.4 -0.4 原点を通る任意の直線に沿って, 原点において連続か つ (その直線の方向に) 微分可能. しかし, (2 変数関数 としては) 原点において連続ではない. 原点において全微分可能であるが, C 1 級ではない. ■ グラフと等高線 (1) z “ x2 ` y 2 2 1 0 -1 -2 4 3 2 1 0 -2 -1 0 1 2 (2) z “ x2 ´ y 2 1 0.5 0 -0.5 -1 1 0.5 0 -0.5 -1 -1 -0.5 0 0.5 1 2xy (3) z “ a x2 ` y 2 1 0.5 0 -0.5 -1 -1 1 0.5 0 -0.5 -0.5 0 0.5 1 -1 (4) z “ 2xy ` y2 x2 4 1 0.5 0 -0.5 -1 -4 2 0 -2 -2 0 2 4 -4 (5) z “ 2x2 y x4 ` y 2 1 0.5 0 -0.5 -1 2 0 -2 0 -2 2 1 (6) z “ 2xy sin a 2 x ` y2 0.1 0.4 0 0.2 -0.1 0 -0.4 -0.2 -0.2 0 0.2 0.4 -0.4
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