《資料1》2変数関数のグラフ

《資料 1》２変数関数のグラフ
z = f (x, y)
z
y
x
b
a
O
傾き fy (a, b)
z
傾き fx (a, b)
z
z = f (x, b)
z = f (a, y)
b
O
y
x
a
O
y = b での切り口
x = a での切り口
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(1) z “ x2 ` y 2
(2) z “ x2 ´ y 2
2
1
1
0.5
0
0
-1
-0.5
-2
4
-1
1
3
0.5
2
0
1
-0.5
0
-2
-1
-1
-1
-0.5
0
0
1
0.5
2
1
$
’
& a 2xy
x2 ` y 2
(3) z “
’
%
0
ppx, yq ‰ p0, 0qq
(4) z “
ppx, yq “ p0, 0qq
$
&
2xy
` y2
0
x2
%
ppx, yq ‰ p0, 0qq
ppx, yq “ p0, 0qq
1
0.5
0
-0.5
-1
-1
1
0.5
0
4
1
0.5
0
-0.5
-1
-4
2
0
-2
-0.5
-2
0
-0.5
0
2
0.5
4 -4
1 -1
原点において連続かつ偏微分可能だが, 全微分可能で
ない. (x 軸, y 軸以外の方向には微分可能でない.)
2x2 y
x4 ` y 2
(5) z “
%
0
$
&
原点において偏微分可能だが連続でない. (x 軸, y 軸
以外の原点を通る任意の直線に沿っては原点で連続で
ない.)
$
’
& 2xy sin a 1
x2 ` y 2
(6) z “
’
%
0
ppx, yq ‰ p0, 0qq
ppx, yq “ p0, 0qq
ppx, yq ‰ p0, 0qq
ppx, yq “ p0, 0qq
0.1
1
0.5
0
-0.5
-1
0.4
0
2
0.2
-0.1
0
-0.4
0
-2
-0.2
-0.2
0
0
-2
2
0.2
0.4 -0.4
原点を通る任意の直線に沿って, 原点において連続か
つ (その直線の方向に) 微分可能. しかし, (2 変数関数
としては) 原点において連続ではない.
原点において全微分可能であるが, C 1 級ではない.
■ グラフと等高線
(1) z “ x2 ` y 2
2
1
0
-1
-2
4
3
2
1
0
-2
-1
0
1
2
(2) z “ x2 ´ y 2
1
0.5
0
-0.5
-1
1
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
2xy
(3) z “ a
x2 ` y 2
1
0.5
0
-0.5
-1
-1
1
0.5
0
-0.5
-0.5
0
0.5
1 -1
(4) z “
2xy
` y2
x2
4
1
0.5
0
-0.5
-1
-4
2
0
-2
-2
0
2
4 -4
(5) z “
2x2 y
x4 ` y 2
1
0.5
0
-0.5
-1
2
0
-2
0
-2
2
1
(6) z “ 2xy sin a
2
x ` y2
0.1
0.4
0
0.2
-0.1
0
-0.4
-0.2
-0.2
0
0.2
0.4 -0.4

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