学籍番号
名
科目名
前
課
df
1. 次の時間 t の関数 f (t) の微分
と不定積分
dt
めなさい．ただし，ω は実定数とする．
題
∫
f dt を求
∫
cos t dt = sin t + C
( ii ) sin ωt
d
sin ωt = ω cos ωt,
dt
予備調査
3. N 個の関数 fi (t) (i = 1, 2, · · · , N ) に対して，定数 ci で
重みをつけた相加平均 f¯
N
1 ∑
ci fi (t)
f¯(t) =
N i=1
( i ) cos t
d
cos t = − sin t,
dt
機械工学科（先端機械）
：物理学1
∫
sin ωt dt = −
1
cos ωt + C
ω
の微分は，
N
df¯
1 ∑ dfi
ci
=
dt
N i=1 dt
であることを示しなさい．
(iii) log t
1
d
log t =
dt
t ∫
∫
∫
log t dt = 1 · log t dt = t log t − t(log t)′ dt
∫
= t log t − 1 dt = t log t − t + C
【証明】
微分演算の，関数和に対する公式 (線形性)
(f + g)′ = f ′ + g ′
と関数積に関する公式
(f g)′ = f ′ g + f g ′
−ωt
(iv) e
d −ωt
e
= −ωe−ωt ,
dt
(v)
∫
を用いて，
1
e−ωt dt = − e−ωt + C
ω
1
t+ω
(
)
∫
d
1
−1
dt
=
,
= log(t + ω) + C
dt t + ω
(t + ω)2
t+ω
2. 平面の位置ベクトルは直角直交座標成分を用いてで r =
(x, y) と表される．
( i ) 原点からの距離 r と，x 軸と r のなす角度 θ を成分 x, y
を用いて表現しなさい．
r=
√
x2 + y 2 ,
tan θ =
y
y
∴ θ = arctan
x
x
( ii ) x 軸を向いた長さ 1 のベクトルを k として，r と θ をベ
クトルを用いて表現しなさい．
r=
√
r·r
r · k = |r||k| cos θ ⇒ cos θ =
r·k
= rˆ · k
|r|
∴ θ = arccos rˆ · k
ここに，ベクトル a をその長さで割った（長さを 1 にし
ˆ ≡ a/|a| を a 方向の単位ベクトルと呼ぶ．
た）ベクトル a
(1)
)
N
N
1 ∑ d
1 ∑
ci fi =
(ci fi )
N i=1
N i=1 dt
(
)
N
N
1 ∑ dci
dfi
1 ∑ dfi
ci
=
fi + ci
=
N i=1 |{z}
dt
dt
N i=1 dt
df¯
d
=
dt
dt
(
0
(2)

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