埼玉工業大学学習支援センター 数学第２回課題
埼玉工業大学学習支援センター
平 成 ２ ７ 年 度 入 学 前 教 育 (数 学 )
第２回課題
注意：分数は既約分数で答えること。
係数が 1 の場合は省略せずに 1 を記入すること。
No. 9
図形と方程式
平 面 上 の ２ 点 A(－ 2,－ 3), B(5, 7)を 結 ぶ 線 分 AB に つ い て , 次
１
のものを求めなさい。
(1)
線 分 AB を 3： 2 に 内 分 す る 点 の 座 標 は （
(2)
線 分 AB の 長 さ は √ 1 − 3
２
1−1
5
,
1−2 ）
次の各問に答えなさい。
(1)
点 (2, － 3)を 通 り , 傾 き － 2 の 直 線 の 方 程 式 は
𝑦 = −2𝑥 + 1 − 4
(2)
2 点 (－ 3,－ 2), (2, 4)を 通 る 直 線 の 方 程 式 は
𝑦 =
(3)
𝑥+
5
1−6
5
2
点 (3， 2)を 通 り , 直 線 𝑦 = −3𝑥 + 1
𝑦 =
３
1−5
方程式
1−7
2
𝑥−
1−8
2
𝑥 2 + 𝑦 2 + 6𝑥 − 4𝑦 − 12 = 0
の 座 標 は （ −1−9 ,
４
に垂直な直線の方程式は
1 − 10 ） ,
は 円 を 表 し ま す 。こ の 円 の 中 心
円 の 半 径 は 1 − 11
下図の円と直線に囲まれた斜線の部分を表す連立不等式を下
記 の 1～ 4 か ら 選 び な さ い 。 該 当 す る の は
1 − 12
（ た だ し , 境 界 線 上 は 範 囲 に 含 ま な い こ と と し ま す 。）
1
{
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 2)2 < 22
𝑥−𝑦 <0
10
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2
{
3
{
{
4
No. 10
１
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 2)2 < 22
y
𝑥−𝑦 >0
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 2)2 > 22
2
𝑥−𝑦 <0
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 2)2 > 22
𝑥−𝑦 >0
O
2
x
三角関数
三角関数のグラフ
(1)
3
関 数 𝑦 = 3sin (2𝜃 + 2 𝜋)の グ ラ フ は 𝑦 = 3 sin 2𝜃 の グ ラ フ を 𝜃軸 方 向 に
−
(2)
3
1−13
𝜋 平行移動したものである。
3
𝑦 = 3sin (2𝜃 + 2 𝜋) の グ ラ フ を 描 き な さ い 。 ( グ ラ フ は 提 出 不 要 )
単位円周上の第２象限に角𝛼 の動径, 第３象限に角𝛽 の動径が
２
あ り , sin 𝛼 =
(1)
３
(1)
cos 𝛼 = −
3
, cos 𝛽 = −
4
1
4
のとき, 次の値を求めなさい。
√ 1−14
(2)
4
sin 𝛽 = −
√ 1−15
4
次の計算をしなさい。
7
𝜋
𝜋
sin 12 𝜋 = sin ( 3 + 4 ) =
√ 1−16 +√ 1−17
4
（ 1 − 16 < 1 − 17 と し ま す 。）
11
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(2)
7
− 1−18 +√ 1−19
5
cos 12 𝜋 ∙ cos 12 𝜋 =
4
次 の 関 数 を 𝑦 = 𝑟 sin(𝜃＋ 𝛼) （ 𝑟 > 0 , −π < 𝛼 < 𝜋） の 形 に 変 形 し な さ
４
い。
(1)
𝑦 = sin 𝜃 + cos 𝜃 = √ 1 − 20 sin (𝜃＋
(2)
𝑦 = sin θ − √3 cos θ = 1 − 22 sin (𝜃 −
５
√3
2
1
1
sin 𝜃 >
(2)
5 cos 𝜃 − 2sin2 𝜃 ＋ 4＝ 0
(3)
1−24
1−25
1−28
3 4
√ √36 = 3 1−29
2
(𝑎4 𝑏−1 )−3 × (𝑎5 𝑏−2 )3 = 𝑎 1−30 𝑏 − 1−31
3
3
2
( √𝑎) ÷ (√𝑎)
2
3
−
= 𝑎
1−32
1−33
(1)
log 𝑎 27 = 3 の と き 𝑎 =
(2)
log 3 √9 × √27 ÷ √9 =
1
1
4
6
3
1−34
1
1−35
次の計算をしなさい。
3log 3 5 − log 3 15 + 2 log 3 45 = 1 − 36 + 1 − 37 log 3 5
12
1
𝜋 < 𝜃 < 2𝜋
次の数と式をできるだけ簡単な形にしなさい。
次の値を求めなさい。
(1)
𝜋)
（ 0 ≦ 𝜃 < 𝜋） を 解 く と 𝜃 =
２
３
1−23
（ − 2𝜋 < 𝜃 < 2𝜋 ） を 解 く と
1
(2)
1
𝜋)
指数関数と対数関数
N o . 11
(1)
1−21
次の方程式・不等式を解きなさい。
(1)
１
1
1−26
1−27
π
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(2)
４
log 4 3 ･ log 9 25 ･ log 5 8 =
1−38
1−39
次の方程式と不等式を解きなさい。
3
(1)
(2)
1
9
32𝑥−1 = √9
を解くと
< 3𝑥 < 81
を解くと
log 2 (𝑥 + 3) + log 2 (𝑥 − 4) = 3
(4)
log 1 (2 − 𝑥 ) < 2 log 1 𝑥
1 − 45 < 𝑥 < 1 − 46
を解くと
1 − 47 ,
のグラフは
𝑥 = 1 − 44
を解くと
3
𝑥− 3
𝑦 = log 3 9
５
1−41
− 1 − 42 < 𝑥 < 1 − 43
(3)
3
1−40
𝑥=
𝑦 = log 3 𝑥
のグラフを x 軸方向に
y 軸 方 向 に − 1 − 48 平 行 移 動 し た も の で あ る 。
6
5
7
6
5
３ つ の 無 理 数 √4 , √5 , √6 に つ い て , log10 √4 , log10 √5 ,
６
7
5
6
7
log10 √6 の 値 を 比 較 す る こ と に よ っ て , √4 , √5 , √6 の 大 小 を 決
定 し , そ の 不 等 式 を 下 記 か ら 選 び な さ い 。 そ の 番 号 は 1 − 49
１
5
6
7
２
5
7
6
３
6
5
7
４
6
7
5
５
7
5
6
６
7
6
5
√4 < √5 < √6
√4 < √6 < √5
√5 < √4 < √6
√5 < √6 < √4
√6 < √4 < √5
√6 < √5 < √4
た だ し , log10 2 = 0.3010 , log10 3 = 0.4771 と し ま す 。
７
log10 2 = 0.3010 を 用 い る と , 250 の 桁 数 は
No. 12
１
1 − 50 桁
微 分 と 積 分 （「 数 学 Ⅱ 」 の 範 囲 ）
次 の 関 数 y の 導 関 数 y′ を 求 め な さ い 。
(1)
𝑦 = 2𝑥 3 + 5𝑥 − 3
y ′ = 2 − 1 𝑥2 + 2 − 2
(2)
𝑦 = 𝑥 (𝑥 − 2)2
y ′ = 2 − 3 𝑥2 − 2 − 4 𝑥 + 2 − 5
２
関 数 𝑦 = 2𝑥 3 − 𝑥 + 3の グ ラ フ 上 の 点 ( 1 ， 4 ) に お け る 接 線 の 方 程 式 は
13
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𝑦 = 2−6 𝑥− 2−7
関 数 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 3
３
の増減表を作成して, 極大値, 極小値およ
びそのときの x の値を求めなさい。
（増減表は提出不要）
x
y'
y
𝑥 = 2−8
𝑥 = 2 − 10
４
で , 極 大 値 2−9
で , 極 小 値 − 2 − 11 を と る 。
次の不定積分と定積分を求めなさい。
1
𝑥 3 + 2 − 13 𝑥 2 − 2 − 14 𝑥 + 𝑐
2−12
(1)
∫(𝑥 2 ＋ 4𝑥 − 3)𝑑𝑥 =
(2)
∫−1(3𝑥 2 + 2𝑥 + 1) d𝑥 = 2 − 15
3
𝑥
等 式 ∫𝑎 𝑓 (𝑡)𝑑𝑡 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 4
５
（c は積分定数）
を 満 た す 関 数 𝑓 (𝑥 )と 定 数 a の 値 を 求 め
なさい。
𝑓 (𝑥 ) = 2 − 16 𝑥 − 2 − 17
,
a =
2 − 18
放 物 線 𝑦 = 3𝑥 2 + 1と x 軸 及 び ２ 直 線 𝑥 = −1, 𝑥 = 2で 囲 ま れ た 部 分 の
６
面 積 は 2 − 19
２ つ の 放 物 線 𝑦 = 𝑥 2 − 𝑥 − 6 と 𝑦 = −𝑥 2 + 𝑥 − 2 に 囲 ま れ た 部 分 の 面
７
積 は 2 − 20
No. 13
１
(1)
ベクトル
平面のベクトルについて次の各問に答えなさい。
２ つ の ベ ク ト ル ⃗𝑎 ＝ ( 1 , 1 ) , 𝑏⃗＝ ( 1 ， −1) を 用 い て ベ ク ト ル
⃗ （ s, t は 定 数 ） の 形 に 表 す と
⃗𝑝 ＝ ( 6 , 2 ) を ⃗𝑝 = 𝑠𝑎
⃗ + 𝑡𝑏
⃗𝑝 = 2 − 21 𝑎
⃗⃗⃗ + 2 − 22 ⃗⃗⃗⃗
𝑏
14
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(2)
4 点 A ( −2, 1 ) , B ( 0 , −1) , C ( 3 , 3 ) , D を 頂 点 と す る 平 行 四 辺 形
ABCD が あ る 。 頂 点 D の 座 標 は
D （ 2 − 23 ,
2 − 24 )
A
正 六 角 形 ABCDEF に お い て , ２ つ の
(3)
⃗⃗⃗⃗ と FD
⃗⃗⃗⃗⃗ の 内 積 FC
⃗⃗⃗⃗ ∙ FD
⃗⃗⃗⃗⃗ の 値 は
ベ ク ト ル FC
B
F
C
E
2 − 25
⃗⃗⃗⃗⃗ | = 1 と し ま す 。
た だ し , |AB
D
２ つ の ベ ク ト ル ⃗𝑎＝ ( 1 , √3 ) と 𝑏⃗＝ ( −√3, −1 ) の な す 角 𝜃 は
(4)
2 − 26 ° （ 0° ≦ 𝜃 ≦ 180° ）
べ ク ト ル ⃗𝑎 , 𝑏⃗ に つ い て , |𝑎 | = 2， |𝑏⃗| = √3で , ⃗𝑎 と 𝑏⃗ の な す 角 が
(5)
3 0 ° の と き , ベ ク ト ル 2𝑎 − 𝑏⃗ の 大 き さ |2𝑎 − 𝑏⃗| は √ 2 − 27
２
空間のベクトルについて次の各問に答えなさい。
２ つ の ベ ク ト ル ⃗𝑎 ＝ ( 3 , k , 2 ) , 𝑏⃗＝ ( 𝑘+ 1 , － 2 , － 5 ） が 垂 直 に な る
(1)
ような k の値は
2 − 28
２ つ の ベ ク ト ル ⃗𝑎 ＝ ( 2 , 3 , −1) , 𝑏⃗＝ ( −2, 2 , 2 ） の 両 方 に 垂 直 で ,
(2)
大 き さ が √42 の ベ ク ト ル は
(
(3)
2 − 29 , − 2 − 30 ,
とします。
=
𝑦−2
2−33
=
𝑧+1
3
2 − 34 𝑥 + 2 − 35 𝑦 − 5 𝑧 = 0
No. 14
(1)
2 − 29 > 0
３ 点 A ( −1, 2, −1) , B ( 1 , 3 , 2 ) , O ( 0 , 0 , 0 ) の 定 め る 平 面 の 方 程 式
は
１
ただし,
２ 点 A ( −2, 2, −1) , B ( 1 , 3 , 2 ) を 通 る 直 線 の 方 程 式 は
𝑥+2
2−32
(4)
2 − 31 )
数列
数列について次の各問に答えなさい。
等差数列
5 ， 8 ， 1 1 ， 1 4 ，・ ・ ・ ・
15
の 第 1 0 0 項 は 2 − 36
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(2)
第 10 項 が 64, 第 20 項 が 24 の 等 差 数 列 の 初 項 , 公 差 , 第 50
項を求めると
初 項 ＝ 2 − 37
(3)
等比数列
2 ， 6 ， 1 8 ， 5 4 ，・ ・ ・
2 − 40 ( 2 − 41 )
(4)
, 公 差 ＝ − 2 − 38
𝑛−1
（ a 𝑟 𝑛−1 の 形 で す 。）
𝑛−1
｛ a (−𝑟)𝑛−1 の 形 で す 。｝
初 項 が 4, 公 比 が 3 の 等 比 数 列 の 初 項 か ら 第 100 項 ま で の 和 は
2 − 44 {( 2 − 45 )
(6)
の一般項は
第 3 項 が 2 0 , 第 6 項 が −160で あ る 等 比 数 列 の 一 般 項 は
2 − 42 (− 2 − 43 )
(5)
, 第 5 0 項 ＝ − 2 − 39
2−46
｛ a (𝑟 𝑛 − 𝑏) の 形 で す 。｝
− 2 − 47 }
次の数列の一般項を求めなさい。
2 ， 5 ， 1 2 ， 2 3 ， 3 8 ， 5 7 ，・ ・ ・
一 般 項 ＝ 2 − 48 𝑛２ − 2 − 49 𝑛 + 2 − 50
16
（ a 𝑛2 − 𝑏𝑛 + 𝑐 の 形 で す 。）
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