log(a

機械工学基礎 I 筆記試験解答例
機械システム工学科 1 年次学生 213 教室対象
2014 年 5 月 29 日実施
大町担当
I. それぞれ以下の通り．
(
)
a+x
1
1
2a
d
d
log
{log(a + x) − log(a − x)} =
+
= 2
（1）
=
dx
a−x
dx
a+x a−x
a − x2
d
d
d x dx
dx
=
sin 2t = 2 cos 2t より， esin 2t =
e ·
= 2 cos 2tesin 2t
dt
dt
dt
dx
dt
∫
∫
dt
ex
1
x
x
（3）e = t とおき，
= e より，
dx =
dt = log(ex + 1) + C
(C は積分定数)
dx
ex + 1
t+1
（2）sin 2t = x とおくと，
（4）g(t)
∫ = t として，部分積分を実施する．
∫
1
· 3(log t)2 dt = t(log t)3 − 3t(log t)2 + 3
t
∫
1
3
2
= t(log t) − 3t(log t) + 6t log t − 6 t · dt
t
(log t)3 dt = t(log t)3 −
∫
t·
= t(log t)3 − 3t(log t)2 + 6t log t − 6t + C
t·
1
· 2 log tdt
t
(C は積分定数)
II. 重力加速度を g とすれば，AB 間の糸に作用する張力 T1 = pg ，AC 間の糸に作用する張力 T2 = qg で
ある．A における水平方向の力のつりあいより次式が成立する．
T1 = T2 cos θ
(1)
従って，cos θ = p/q を得る．
台秤が示す質量を n とすると，ボールには台秤より鉛直上向きに大きさ ng の力が作用しているで，A
における鉛直方向の力のつりあいより次式が成立する．
ng + T2 sin θ = mg
sin θ =
(2)
√
√
√
1 − cos2 θ = 1 − (p/q)2 を用いて式 (2) を n について解き，n = m − q 2 − p2 を得る．
III. それぞれ以下の通り．
（1）f (x) = sin x について，f (1) (x) = cos x，f (2) (x) = − sin x，f (3) (x) = − cos x，f (4) (x) = sin x，
f (5) (x) = cos x，· · · より，
sin 0 0 cos 0 1 − sin 0 2 − cos 0 3 sin 0 4 cos 0 5
x +
x +
x +
x +
x +
x + ···
0!
1!
2!
3!
4!
5!
1
1
1
1
= x − x3 + x5 − x7 + x9 + · · ·
3!
5!
7!
9!
sin x =
(3)
（2）g(x) = cos x について，g (1) (x) = − sin x，g (2) (x) = − cos x，g (3) (x) = sin x，g (4) (x) = cos x，
g (5) (x) = − sin x，· · · より，
cos 0 0 − sin 0 1 − cos 0 2 sin 0 3 cos 0 4 − sin 0 5
x +
x +
x +
x +
x +
x + ···
0!
1!
2!
3!
4!
5!
1
1
1
1
= 1 − x2 + x4 − x6 + x8 + · · ·
2!
4!
6!
8!
cos x =
1
(4)
（3）f (x) = eix について，f (n) (x) = (i)n eix より，
e0 0 ie0 1 i2 e0 2 i3 e0 3 i4 e0 4 i5 e0 5
x +
x +
x +
x +
x +
x + ···
0!
1!
2!
3!
4!
5!
i
1
i
1
i
1
i
1
i
= 1 + x − x2 − x3 + x4 + x5 − x6 − x7 + x8 + x9 + · · ·
1!
2!
3!
4!
5!
6!
7!
8!
9!
eix =
(5)
である．実部と虚部に分けて整理すると，
eix = 1 −
1 2 1 4 1 6 1 8
x + x − x + x +···+i
2!
4!
6!
8!
(
)
1
1
1
1
1
x − x3 + x5 − x7 + x9 + · · · (6)
1!
3!
5!
7!
9!
となり，(1)，(2) の結果より eix = cos x + i sin x が示される．
IV. それぞれ以下の通り．
（1）物体 A に作用する外力は，重力 mA g ，糸の張力 T1 ，垂直抗力 N ，摩擦力 R = µN である．物体 A
の運動は斜面に平行なので，斜面に垂直な方向の外力は相殺されている．すなわち，N = mA g cos θ
である．従って，物体 A の運動方程式は加速度を a とすると次式の通りとなる．
mA a = T1 − mA g sin θ − µmA g cos θ
(7)
物体 B には鉛直上向きに張力 T1 ，鉛直下向きに張力 T2 と重力 mB g が作用する．物体 B の加速度
は物体 A と同じ a であり，鉛直下向きであることに注意すると，運動方程式は次式の通りとなる．
mB a = mB g + T2 − T1
(8)
物体 C には鉛直上向きに張力 T2 ，鉛直下向きに重力 mC g が作用する．物体 C の加速度は物体 A
と同じ a であり，鉛直下向きであることに注意すると，運動方程式は次式の通りとなる．
mC a = mC g + −T2
(9)
（2）式 (7)，(8)，(9) を辺々加え，T1 ，T2 を消去すると，加速度 a は次式の通り求められる．
a=
mB + mC − mA (sin θ − µ cos θ)
g
mA + mB + mC
(10)
V. 以下，加速度 a の向きは，鉛直下向きを正として解答する．
（1）空気抵抗を無視できる場合，物体に作用する外力は重力 mg のみである．従って，運動方程式は次
式の通り求められる．
ma = mg
(11)
運動方程式の両辺を m で除し，時間で積分することにより速度 v を求める．
∫
v=
∫
adt =
gdt = gt + C
(12)
積分定数 C は t = 0 のとき v = 0 より，C = 0 である．従って，v = gt を得る．
（2）速度に比例する空気抵抗 cv は重力とは逆向きに作用するので，物体の運動方程式は次式の通り求
められる．
ma = mg − cv
2
(13)
a = dv/dt に注意し，運動方程式の両辺を (mg − cv) で除したものを時間積分すると，
∫
∫
m
adt = dt
mg − cv
∫
∫
m
dv
dt = dt
mg − cv dt
∫
∫
m
dv = dt
mg − cv
(14)
となる．式 (14) の左辺の積分を実施して次式を得る．
∫
m
m
dv =
mg − cv
c
∫
1
m
dv = − log(mg/c − v) + C1
mg/c − v
c
(15)
式 (14) の右辺の積分を実施して次式を得る．
∫
dt = t + C2
(16)
式 (15)= 式 (16) であり，積分定数を C = C2 − C1 として右辺にまとめて次式を得る．
−
t = 0 のとき v = 0 より，C = −
m
log(mg/c − v) = t + C
c
m
log(mg/c) である．式 (17) を変形して次式を得る．
c
(
)
c
c
log 1 −
v =− t
mg
m
(17)
(18)
式 (18) を対数から指数に直せば v について解くことができ，次式を得る．
1−
c
v = e−ct/m
mg
mg
v=
(1 − e−ct/m )
c
(19)
（3）速度の 2 乗に比例する空気抵抗 kv 2 は重力とは逆向きに作用するので，物体の運動方程式は次式の
通り求められる．
ma = mg − kv 2
(20)
前問と同様にして，運動方程式の両辺を (mg − kv 2 ) で除したものを時間積分して次式を得る．
∫
A=
∫
√
m
dv =
mg − kv 2
∫
dt
(21)
mg/k とおいて式 (21) の左辺の積分を実施して次式を得る．
)
∫
∫
∫ (
m
A2
A
1
1
m
1
1
dv =
dv =
dv =
+
dv
mg − kv 2
k
mg/k − v 2
g
A2 − v 2
2g
A+v A−v
(
)
A
A
A+v
=
{log(A + v) − log(A − v)} + C1 =
log
+ C1
(22)
2g
2g
A−v
式 (21) の右辺の積分を実施して次式を得る．
∫
dt = t + C2
3
(23)
式 (22)= 式 (23) であり，積分定数を C = C2 − C1 として右辺にまとめて次式を得る．
A
log
2g
(
A+v
A−v
)
=t+C
t = 0 のとき v = 0 より，C = 0 である．式 (24) を変形して次式を得る．
(
)
A+v
2g
log
t
=
A−v
A
(24)
(25)
式 (25) を対数から指数に直せば v について解くことができ，次式を得る．
A+v
= e2gt/A
A−v
A + v = (A − v)e2gt/A
(e2gt/A + 1)v = (e2gt/A − 1)A
√
√
e2gt/A − 1
1 − e−2gt/A
1 − e−2t/ kg/m mg
√
v = 2gt/A
A=
A=
k
e
+1
1 + e−2gt/A
1 + e−2t/ kg/m
√
√
mg
（4）t → ∞ において，e−2t/ kg/m → 0 より，終端速度 v∞ =
を得る．
k
4
(26)

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