微分(differentiation)

微分 (diﬀerentiation)
定義 f (x) をある区間 I で定義された関数、a を I に属する点とする．x → a のとき
関数
f (x) − f (a)
x−a
が収束するならば、f (x) は点 a で微分可能である (diﬀerentiable) という．また、その極
限を点 a における f (x) の微分係数 (diﬀerential coeﬃcient) といい f ′ (a) で表す．
f (x) − f (a)
x→a
x−a
f ′ (a) = lim
x − a = h とおけば、これは次のように書くことができる．
f (a + h) − f (a)
h→0
h
f ′ (a) = lim
関数 f (x) が区間 I の各点で微分可能のとき、f (x) は区間 I で微分可能であるという．
この場合は、f ′ (x) は I で定義された関数になる．これを f (x) の導関数 (derivative) といい
df
,
dx
df
(x),
dx
d
f (x),
dx
y′,
dy
dx
(ただし y = f (x))
などと書くこともある．
定義関数 h(x) が、lim h(x) = 0 を満たすとき、点 a において無限小 (inﬁnitesimal) で
x→a
あるという．さらに x ̸= a ならば h(x) ̸= 0 であるとき、
g(x)
=0
x→a h(x)
lim
を満たす関数 g(x) を、点 a で h(x) より高位の無限小 (higher order) であるといい、o(h(x))
で表す．ここでは、
「x が a に近づくとき g(x) のほうが h(x) より速く 0 に近づく」という
性質が大切なのであって、関数 g(x) の具体的な形は問題ではない．
定理 (微分の定義のいいかえ)
f (x) をある区間 I で定義された関数、a を I に属する点、c を定数とする．次の 3 つの
条件は同値である．
(1) f (x) は点 a で微分可能で、f ′ (a) = c である．
(2) f (x) − f (a) = c (x − a) + o(x − a) である．ただし、o(x − a) は点 a で x − a より高
位の無限小を表す．
(3) 点 a で連続な関数 α(x) で、
f (x) − f (a) = α(x)(x − a) かつ α(a) = c
を満たすものが存在する．
1
証明 g(x) = f (x) − f (a) − c(x − a) とおく．(1) が成立することは、定義により
f (x) − f (a)
=c
x→a
x−a
lim
が成立することであるが、これは g(x) が点 a で x − a より高位の無限小であることを意
味する．よって、(1) と (2) は同値である．つぎに (1) が成立すると仮定して、α(x) を

 f (x) − f (a)
(x ̸= a のとき)
α(x) =
x−a
c
(x = a のとき)
として定義すると、この α(x) は (3) の条件を満たすことがわかる．逆に、(3) を仮定す
れば (1) が成立する．よって、(1) と (3) は同値である．
定理関数 f (x) が点 a で微分可能ならば、 f (x) は点 a で連続である．
証明前定理の条件 (2) により、x → a のとき f (x) → f (a) となる．
注意前定理の条件 (2) は
f (x) = c (x − a) + f (a) + o(x − a)
と書くことができるが、これは点 a の近くでは f (x) が１次関数
c (x − a) + f (a)
で近似できることを意味する．すなわち、f (x) が点 a で微分可能であることと、点 a の近
くで１次関数で近似できることは、同値である．またこのとき、直線 y = c(x − a) + f (a)
は y = f (x) のグラフの x = a における接線である．
2
微分の公式
f (x), g(x) を微分可能な関数とする．
1. （線型性）c1 , c2 を定数とすると
(c1 f (x) + c2 g(x))′ = c1 f ′ (x) + c2 g ′ (x)
2. （積の微分）
(f (x)g(x))′ = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x)
3. （商の微分）g(x) ̸= 0 ならば
(
)′
f (x)
f ′ (x)g(x) − f (x)g ′ (x)
=
g(x)
(g(x))2
4. （合成関数の微分）y = f (x), z = g(y) = g(f (x)) とおくと
(g(f (x)))′ = g ′ (f (x))f ′ (x),
すなわち
dz
dz dy
=
dx
dy dx
5. （逆関数の微分）y = f (x) が狭義の単調関数で f ′ (x) ̸= 0 ならば、逆関数 x = f −1 (y)
は y について微分可能で
d −1
1
f (y) =
,
d
dy
f (x)
dx
ただし
y = f (x),
すなわち
6. （対数微分法）f (x) ̸= 0 ならば
( log |f (x)| )′ =
f ′ (x)
f (x)
7. （ライプニッツの定理）f (x), g(x) が n 回微分可能ならば
(f (x)g(x))
(n)
n ( )
∑
n (n−k)
=
f
(x)g (k) (x)
k
k=0
3
1
dx
=
dy
dy
dx
基本的な関数の微分
f (x)
f ′ (x)
xn
nxn−1
n = 0, 1, 2, . . .
xa
axa−1
x>0
ex
ex
ax
ax log a
a>0
log x
1
x
x>0
log |x|
1
x
x ̸= 0
loga x
1
x log a
x>0
sin x
cos x
cos x
− sin x
tan x
1
cos2 x
Arcsin x
1
√
1 − x2
Arccos x
−√
Arctan x
1
1 + x2
1
1 − x2
4
−1 < x < 1
−1 < x < 1
問題
次の関数の導関数を計算せよ．特に断らない限り、n は正の整数、a, b は定数を表す
ものとする．また、f (x), g(x) は微分可能な関数とする．
xn
n!
(1) an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
(2)
(3) (x + 1)(x2 + 2)
(4) (ax + b)3
(5) (xn − 1)2
(6) (x2 + 1)n
(7) f (x)n
(8)
(9)
(11)
(13)
1
ax + b
1
+1
(10)
1
f (x)n
(12)
√
x
(14)
√
f (x)
xn
√
ax + b
x2
x
+1
1
(15) √
2
x +1
(16) f (x)a
(17) ef (x)
(18) af (x) (a > 0, a ̸= 1)
(19) f (x)x
(20)
log x
x
(21)
1
1+x
log
2
1−x
(22) log |x +
(23)
√
)
1( √ 2
x x + a + a log |x + x2 + a|
2
(24) Arcsin
1( √ 2
x)
x a − x2 + a2 Arcsin
2
a
√
(27) sin ax + b
x
a
(26) log | sin x|,
(25)
log | cos x|
(28) sin f (x)
(29) eax sin bx
(31)
√
x2 + a|
(30) eax cos bx
)
eax (
a
sin
bx
−
b
cos
bx
a2 + b2
)
eax (
a
cos
bx
+
b
sin
bx
a2 + b2
√
1 − cos x
(34) log
1 + cos x
(32)
(33) x2 e3x sin(ax + b)
5
解答とヒント
(1) 微分の線型性と (xm )′ = mxm−1 より、nan xn−1 + (n − 1)an−1 xn−2 + · · · + a1
(2)
xn−1
(n − 1) !
(3) (x + 1)(x2 + 2) = x3 + x2 + 2x + 2 として計算してもよいが、積の微分の公式により、
((x + 1)(x2 + 2))′ = (x + 1)′ (x2 + 2) + (x + 1)(x2 + 2)′
= x2 + 2 + (x + 1)2x = 3x2 + 2x + 2
としてもよい．
(4) (ax + b)3 を展開してから微分を計算してもよいが、y = ax + b, z = (ax + b)3 とおく
と z = y 3 となるので、合成関数の微分の公式より
d
dz
dz dy
(ax + b)3 =
=
= 3y 2 a = 3a(ax + b)2
dx
dx
dy dx
としてもよい．
(5) (xn − 1)2 = x2n − 2xn + 1 として計算してもよいが、y = xn − 1, z = (xn − 1)2 とお
くと z = y 2 となるので、合成関数の微分の公式より
d n
dz
dz dy
(x − 1)2 =
=
= 2ynxn−1 = 2nxn−1 (xn − 1)
dx
dx
dy dx
としてもよい．
(6) 二項定理により (x2 + 1)n を展開してから計算してもよいが、y = x2 + 1, z = (x2 + 1)n
とおくと z = y n となるので、合成関数の微分の公式より
d 2
dz
dz dy
(x + 1)n =
=
= ny n−1 2x = 2nx(x2 + 1)n−1
dx
dx
dy dx
としてもよい．
(7) y = f (x), z = f (x)n とおくと z = y n となるので、合成関数の微分の公式より
d
dz
dz dy
f (x)n =
=
= ny n−1 f ′ (x) = nf (x)n−1 f ′ (x)
dx
dx
dy dx
積の微分の公式 (f (x)g(x))′ = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x) を用いて、n に関する帰納法によ
り示すこともできる．
a
(8) 商の微分の公式により −
(ax + b)2
(9) 商の微分の公式により −
nxn−1
(xn + 1)2
(10) 商の微分の公式より
(
)′
x′ (x2 + 1) − x(x2 + 1)′
x2 + 1 − 2x2
−x2 + 1
x
=
=
=
x2 + 1
(x2 + 1)2
(x2 + 1)2
(x2 + 1)2
6
(11) y = f (x), z =
1
1
とおくと z = n となるので、
n
f (x)
y
d
1
dz dy
n
dz
nf ′ (x)
′
=
=
=
−
f
(x)
=
−
dx f (x)n
dx
dy dx
y n+1
f (x)n+1
(f (x)n )′ = nf (x)n−1 f ′ (x) に注意して、商の微分の公式を用いてもよい．
√
1
d a
1
(12) x = x1/2 なので、a =
として公式
x = axa−1 を適用すると √
2
dx
2 x
√
√
(13) y = ax + b, z = ax + b とおくと z = y となるので、
d√
dz
dz dy
1
a
ax + b =
=
= √ a= √
dx
dx
dy dx
2 y
2 ax + b
(14) この問題では f (x) > 0 とする．y = f (x), z =
f ′ (x)
を用いて、 √
2 f (x)
√
f (x) とおき合成関数の微分の公式
1
1
d a
(15) y = x2 + 1, z = √
とおくと z = √ = y −1/2 である．公式
x = axa−1 に
2
y
dx
x +1
d −1/2
1 −3/2
1
より、 y
=− y
= − √ であることに注意して、
dy
2
2y y
d
1
dz
dz dy
1
x
√
√
=
=
= − √ 2x = −
2
2
dx x + 1
dx
dy dx
2y y
(x + 1) x2 + 1
(16) この問題では f (x) > 0 とする．y = f (x), z = f (x)a とおくと z = y a となるので、
d
dz
dz dy
f (x)a =
=
= ay a−1 f ′ (x) = af (x)a−1 f ′ (x)
dx
dx
dy dx
(17) y = f (x), z = ef (x) とおくと z = ey となるので、
d f (x) dz
dz dy
e
=
=
= ey f ′ (x) = f ′ (x)ef (x)
dx
dx
dy dx
(18) この問題では a > 0, a ̸= 1 とする．y = f (x), z = af (x) とおくと z = ay となるので、
dz dy
d f (x) dz
a
=
=
= ay log af ′ (x) = f ′ (x)af (x) log a
dx
dx
dy dx
また、z = af (x) の対数を考えると、log z = f (x) log a となる．この両辺の x に関する
微分は、
dz
dx = f ′ (x) log a
z
なので、
dz
= zf ′ (x) log a = f ′ (x)af (x) log a
dx
7
としてもよい．
(19) この問題では f (x) > 0 とする．g(x) = f (x)x とおくと、log g(x) = x log f (x) とな
る．この両辺の x に関する微分は、
g ′ (x)
xf ′ (x)
= (x log f (x))′ = x′ log f (x) + x(log f (x))′ = log f (x) +
g(x)
f (x)
である．よって
(
d
xf ′ (x) )
x
′
f (x) = g (x) = g(x) log f (x) +
= f (x)x log f (x) + xf (x)x−1 f ′ (x)
dx
f (x)
(20) 商の微分の公式より
1 − log x
d log x
(log x)′ x − (log x)x′
=
=
2
dx x
x
x2
(21) log
1+x
= log |1 + x| − log |1 − x| なので、
1−x
d
1+x
1
1
2
log
=
+
=
dx
1−x
1+x
1−x
1 − x2
(22) f (x) = x +
√
√
x
x2 + a
x
+
x2 + a とおくと、f ′ (x) = 1 + √
= √
なので、
x2 + a
x2 + a
√
d
d
f ′ (x)
1
log |x + x2 + a| =
log |f (x)| =
= √
dx
dx
f (x)
x2 + a
(23)
√
√
√
√
x2
(x x2 + a)′ = x′ x2 + a + x( x2 + a)′ = x2 + a + √
x2 + a
√
√
( √
)′
および (22) より、 x x2 + a + a log |x + x2 + a| = 2 x2 + a．
x
x
(24) この問題では a > 0, |x| < a とする．y = , z = Arcsin
とおくと z = Arcsin y
a
a
となるので、
d
x
dz
dz dy
1
1
1
Arcsin
=
=
= √
= √
·
dx
a
dx
dy dx
a2 − x2
1 − y2 a
(25) この問題では a > 0, |x| < a とする．
√
√
√
√
x2
(x a2 − x2 )′ = x′ a2 − x2 + x( a2 − x2 )′ = a2 − x2 − √
a2 − x2
√
( √
x )′
および (24) より、 x a2 − x2 + a2 Arcsin
= 2 a2 − x2 ．
a
8
d
f ′ (x)
cos x
log |f (x)| =
より、(log | sin x|)′ =
, (log | cos x|)′ = − tan x．
dx
f (x)
sin x
√
√
(27) y = ax + b, z = sin ax + b とおくと z = sin y となるので、
(26) 公式
√
d
dz
dz dy
d√
sin ax + b =
=
= cos y
ax + b
dx
dx
dy dx
dx
√
a cos ax + b
√
ここで (13) を用いると
が得られる．
2 ax + b
(28) y = f (x), z = sin f (x) とおくと z = sin y となるので、
d
dz
dz dy
sin f (x) =
=
= cos y · f ′ (x) = f ′ (x) cos f (x)
dx
dx
dy dx
(29) 積の微分の公式より
(eax sin bx)′ = (eax )′ sin bx + eax (sin bx)′ = eax (a sin bx + b cos bx)
(30) (29) と同様にして、(eax cos bx)′ = eax (a cos bx − b sin bx)．
(31) (29) と (30) より、eax sin bx．
(32) (29) と (30) より、eax cos bx．
(33) 積の微分の公式を繰り返し適用して、
( 2 3x
)′
(
)′
x e sin(ax + b) = (x2 )′ e3x sin(ax + b) + x2 e3x sin(ax + b)
(
)
= 2xe3x sin(ax + b) + x2 (e3x )′ sin(ax + b) + e3x (sin(ax + b))′
(
)
= 2xe3x sin(ax + b) + x2 3e3x sin(ax + b) + ae3x cos(ax + b)
(
)
= e3x x(3x + 2) sin(ax + b) + ax2 cos(ax + b)
√
(34) log
)
1 − cos x
1(
=
log(1 − cos x) − log(1 + cos x) および
1 + cos x
2
(1 − cos x)′
sin x
=
1 − cos x
1 − cos x
′
(1
+
cos
x)
sin x
(log(1 + cos x))′ =
=−
1 + cos x
1 + cos x
√
d
1
1 − cos x
に注意すると、 log
=
．
dx
1 + cos x
sin x
(log(1 − cos x))′ =
9

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