2014年度東邦大学医学部一般数学解答

2014　東邦大学医学部　数学　１一般に，定数 a,
1
＝ 0 t -1 10 t - 2 1 2
2
これを g0 t 1 とおくと，
1
g -0 t 1 = 61 ･ 0 t- 2 1 2 + 0 t-1 1 ･ 20 t-1 17
2
1
＝ 0 t -2 160 t-2 1 +20 t-1 1 7
2
1
＝ 0 3t -4 10 t -2 1
2
t
0 …
よって， 0 ( t( 2 に
おける g0 t 1 の増減は
g -0 t1
+
右のようになり，これ
g0 t 1
9
よりf0 x 1の最大値は
b, c ( a ' 0, b ' 0 ) について関数
2p
なので，
asin 0 bx + c 1 の正の最小の周期は
b
p
- 3x の正の最小の周期は
f0 x 1 =5sin
2
2p
2
＝ p ……(アイ)
3
-3
8
9
２さいころの目の出方は全部で 6
2
通りあり，これらは
同様に確からしい．
X = k ( k =1, 2, …, 6 ) となるような目の出方は
0 k, k 1, 0 k, k +1 1, 0 k, k +2 1, …, 0 k, 6 1 ，
0 k +1, k 1, 0 k +2, k 1, …, 0 6, k 1
の 1+20 6 - k 1 ＝13-2k 通りあるので
13 - 2k
．
63
よって，X の期待値は
6
1 6
P k･ P0 X = k1＝ 3 P 0 13k - 2k 21
6 k =1
k=1
1
1
1
＝ 3 13 ･･ 6 ･ 7-2 ･･ 6 ･ 7 ･ 13
2
6
6
P0 X = k 1 =
8
３f
f
，g
-1
Mg
-1
A -1B -1＝
＝
8
8
98
1 -1
-1
0
-2
0 -1 -1 -1
98
４図のように垂線 AH を下
ろすと，H は BD の中点で
11
6
AH=ACsin 30, ＝
2
なので，
BD＝2BH
D
2
．……(ソタチ)
27
6 12 = 0 6 31 4＝216 4＝0 20 + 98 ･ 2 1 4
上と同様に二項定理を用いた議論により
6 12 と 20 4 は 98 で割った余りは等しい．さらに同様に
20 4 = 020 21 2 ＝400 2＝0 8 + 98 ･ 4 1 2
から 20 4 と 8 2 =64 は 98 で割った余りは等しい．
-1
1
2 1
3 2
以上より 104 12 を 98 で割った余りは 64．……(ツテ)
参考合同式を用いて表現すれば
．…(キクケコ)
104 1266 12　( mod 98 )
＝06 31 4
A
＝216 4
620 4　( mod 98 )
11
＝400 2
6
68 2　( mod 98 )
＝64
となる．
30,
H
:
104 12 と 6 12 は 98 で割った余りは等しい．さらに
B
C
11
＝U 23 ．……(サシ)
2
3a - 2b - c = 3 ……①
62 -
＝2
５
＝
0
k=1
98 9
-1 -1 -2 -1
] 8 9
9
-
であり，後半のΣの部分は98 で割り切れるので
を表す行列は
-1
0
12
を表す行列をそれぞれ A, B とすると，
1 -1
＝
2
104 12 = 0 6 + 98 1 12 ＝6 12 + P 12 C k6 12-k98 k
9
-1
8 9
2
…
７二項定理により
91
＝．……(ウエオカ)
36
-1
4
1 1
2
＝･･ 3
2 3
3
8 9
g
4
3
2
８ f0x 1 = x f0 x-11 -2x
2
2
3
-5 …(＊)
(ⅰ) f0 x 1 が定数のとき，(＊) の左辺は定数であるが
右辺は 3 次式となるので不適．
(ⅱ) f0 x 1 が 1 次式であるとき，f0 x 1 = ax + b ( a ' 0 ) と
おくと，
>
2a - b - 2c = 0 ……②
② % 2- ① より a -3c =-3 よって　a =3c -3 ，
② % 3- ① % 2 よりb -4c =-6 よって　b =4c -6
なので，
a + b + c＝0 3c -3 1 + 0 4c -6 1 + c
＝8c -9 ＝80 c -2 1 +7
となる．
ここで，c -2= k とおけば，k は整数であるから
a + b + c =8k +7
と表せる．…(スセ)
f0x 21 = ax 2 + b
x 2f0 x -1 1 -2x 3 -5 ＝x 26 a0 x -1 1 + b 7 -2x 3 -5
＝0 a -2 1x 3 + 0 -a + b 1x 2 -5
より(＊) が x の恒等式となるための条件は
0= a -2 かつ a =-a + b かつ b =-5
であるが，これを満たす a, b は存在しない．
(ⅱ) f0 x 1 の次数が 2 以上であるとき，次数を n とおくと
６ log x = t とおくと 1( x(4 より 0( t( 2 であり
2
x
4
log 2
log 4
f0 x 1 = log 2
x
4
x
＝0log 2 2 - log 2 x 10 log 2 x - log 2 4 1 0log 4 4 - log 4 x 1
f0x 21 すなわち左辺の次数は 2n，x 2f0 x -1 1 の次数は
n +2 ( ) 4 ) なので，(＊) の右辺の次数は n +2 である．
よって (＊) の両辺の次数を比較して
2n = n +2 より　n =2 ．……(ト)
log 2 x
t
t
＝0 1 - t 10 t -2 1 1 ( 8　log 4 x =
＝ )
2
log 2 4
2
f0 x 1 = ax 2 + bx + c ( a ' 0 ) とおくと
f0x 21 ＝ax 4 + bx 2 + c
2
8
98
8
98
9
9
1
©創医塾京都
本サービスに関する一切の権利は著作権者である創医塾京都に帰属します。掲載の全部または一部についての無断複製・転載を禁じます。
2014　東邦大学医学部　数学　x 2f0 x -1 1 - x 3 -5
<
＝2p 3x -
＝x 26a0 x - 1 1 2 + b0 x -1 1 + c7 - x 3 -5
4
3
U3
2
3
1
3
＝2p 3 U 3 - U
- 0U 3 1 3 - U
2
3
2
11 x0 t1 =t0 2- t1 ，y0 t1 =t0 2- t1 ＝t -4t +4t ( 0( t( 2 )
2
n+1
a n =50a n+1 - a n 1 ( n =1, 2, 3, … ) …①
めて，① の両辺を -5a n +1a n で割ると
1
2n - 1
=an
5
となる．ゆえに数列
1
の階差数列の第 n 項が
an
> ?
2n - 1
であるから，n ) 2 のとき
5
n-1
1
1
2k- 1
=
+P 5
an
a 1 k=1
8
t
0
…
2
3
x -0 t1
+
+
+
y -0 t1
+
+
0
0 x, y 1
0 0, 0 1
9
8 32
,
9 27
:
0 1, 1 1
8
1
…
2
+
0
-
-
-
-
-
0
…
9
0 0, 0 1
これより，C の概形は次の図のようになる．
y 1 0 0 ( t( 1 1
y
y =
2
y 2 0 1 ( t( 2 1
t=
3
32
とおくと求める面積 S は
27
9
>
1
＝2014- 6 1+3+5+ … + 0 2n -3 1 7
5
1 n -1
＝2014- ･
1+ 0 2n -3 1 7
5
2 6
8
1
1
Q
Q y dx
＝ y0 t 1x -0 t1dt- y0 t 1x -0 t1dt
Q
Q
= y0 t 1x -0 t1dt + y0 t1x -0 t 1dt
Q
Q
＝ y0 t 1x -0 t1dt
Q
＝ 0 t - 4t + 4t1 ･ 20 1 - t1dt
Q
＝2 0 -t + 5t - 8t + 4t1 dt
Q
S＝
0
2
n - 11
＝2014- 0
．( これは n =1 のときも成立．)
5
ゆえに
2
n - 11
a n <0 C　2014- 0
<0
y 1dx -
1
1
0
2
1
2
0
1
5
9
0 t =1 1
1
2
0
C
O
8 1
9
2
x
0
2
C　0 n - 1 1 >10070 ……………②
2
3
x -0 t1＝20 1 - t 1 ，y -0 t1＝3t 2 -8t 2 +4 ＝0 3t -2 10 t -2 1
からベクトル 0 x -0 t 1, y -0 t1 1 の向きを調べることにより，
点 0 x, y 1 の進行は次のようになる．
1
を繰り返すと a 1 =0 となるが，これは a 1 =
'0 に
2014
矛盾する．よって，任意の n に対して a n ' 0 である．改
a n +1
3
とおくと
ある n で a n +1 =0 と仮定すると a n =0 となり，この論法
1
3
>8
9 8
8 9 9?
3
1
3 3
5 3
＝2p U 3 - 3U 3 - U
＝ U p．…(ハヒフ)
8 9?
4
>2 38
より a =-3, b =-4, c =-5 ．
よって f0 x 1 最高次の係数は a =-3 ．……(ナニ)
=
U3
2
＝ax + 0 -2a + b -1 1x + 0 a - b + c 1x -5
であるから，(＊) が x の恒等式となる条件は
0=-2a + b -1 かつ b = a - b + c かつ c =-5
９ 0 2n -11a
1 3
x
3
2
2
ここで，100 =10000 ，101 =10201 なので，
② を満たす最小の n は
n -1=101 つまり n =102 ．……(ヌネノ)
3
2
0
2
4
3
2
0
2
1 5 5 4 8 3
2
=2
t
+
t
t
+
2
t
=3
の中心は
1,
1,
0
，
0
1
1
5
4
3
0
2
2
2
球面 S 2：x + y + 0 z - 1 1 =3 の中心は 0 0, 0, 1 1 であり，
32
64
8
＝2 +8 ＝．……(ヘホマ)
+202
2
2
5
3
15
中心間の距離は U 1 + 1 + 0 -1 1 = U 3 ，半径は共に U 3
である．よって S 1, S 2 の共通部分の体積 V は，対称性
正五角形 ABCDE の外接円と内接円の中心を O とし，
10 球面 S ：0 x- 11 +0 y-1 1 + z
2
2
<
8
2
=
9
12
も考えて
O から辺 AB に垂線 AH を下ろす．4AOH＝a とおく
と a ･ 2 ･ 5=360, より a =36, であり，直角三角形 OAH
r
において
=cos a =cos 36, となる．ここで，
R
A
5a =180, より 3a =180, -2a から
H
sin 3a =sin 0 180, - 2a 1
a R
sin 3a ＝sin 2a
E
B
r
y
2
2
0x - U 3 1 + y =3
x 2 + y 2 =3
U3
-U 3
2
2U 3
U3
x
O
3sin a -4sin 3 a ＝2sin a cos a
0, < a <90, より sin a >0 から
3
図の円 x 2 + y 2 =3 と直線 x = U で囲まれる図形を x 軸
2
のまわりに 1 回転させて得られる立体の体積の 2 倍に等
しい．したがって
Q
V =2
U3
U3
2
Q
py 2dx ＝2p
U3
U3
2
O
3-4sin 2 a =2cos a
3-401 - cos 2 a 1 =2cos a
C
D
2
4cos a -2cos a -1=0
cos a >0 に注意して解くと
03 -x 1 dx
2
cos a =
1+ U 5
r
1+ U 5
＝
すなわち
．…(ミムメ)
R
4
4
2
©創医塾京都
本サービスに関する一切の権利は著作権者である創医塾京都に帰属します。掲載の全部または一部についての無断複製・転載を禁じます。
2014　東邦大学医学部　数学　13 0x
4
わち，2 直線 OA, BC の交点である．
+31 a 2 - 0 3x 4 -2x +91 a +20x 4 - x +31 >0
C　0a 2 -3a +21x 4 +20 a -1 1x +3a 2 -9a +6 ＞0
C　0 a -1 10 a -2 1x 4 +20 a -1 1x +30 a -1 10 a -2 1 ＞0
D
9?
> 8
f -0 x 1 =-2 ･
OC
OC
C　0 a -1 160 a -2 1x 4 +2x +30 a -2 17 ＞0
2x
C　0 a -1 10x 4 +31 a - 2 - 4
＞0
x +3
2x
>0 ( 8 x 2 +4>0 )…①
C　0 a -1 1 a - 2 - 4
x +3
2x
ここで，f0 x 1 =2- 4
とおくと
x +3
> 8
図2
図1
9?
△ABC＝
＝
より f0 x 1 の増減は次の表のようになる．
x
…
-1
…
1
…
f -0 x 1
+
0
-
0
+
9
5
2
:
3
2
@
2-
1
1
OP+ OQ ＝OP - +OQ 2
2
となる．また P -, Q - の動く領域を A -, B - とすると，こ
1
れらはそれぞれ，A, B を，O を中心として倍に相似
2
縮小したものであり，その表す不等式は，元の領域の不
等式において x, y を 2x, 2y に置き換えることによって
A -： x -10 ( 2, y ( 2 ，　B -： x + y ( 1
となる．
9
A
y
2
1
R
P-
B -P-
Q-1
8
1
10
12
x
O
B-
-1
2
-2
2
49 OA ＝25 OA +80OB ･ OC+64 OC
2
A -，B - は上の図の網掛け部 ( 以下境界を含む ) であり，
P - を固定して Q - を動かすとき，R の動く領域は B - を
1
ここで OA = OB = OC =1 より OB ･ OC= ．
2
ゆえに cos 4BOC ＝
OQ A-
2
7OA=-05OB + 8OC1 ………①
であるから
2
OQ の中点をそれぞれ R，P -, Q - とす
OR=
14 7OA+5OB+8OC=0 より
49 OA = 5OB + 8OC
20 U 3
5 3
＝ U ．……(ヨラリ)
･
7
4
7
ると，
＝2
3
1+ 4
x
より，すべての実数 x について 1< f0 x 1 であるから，
①　C　0 a -1 16 a - f0 x 1 7 >0 C　a <1, f0 x 1 < a
であり，これがすべての実数 x で成り立つための条件は
5
a <1,
< a．…(モヤユ)
2
.$*
7 + 13
△OBC
7
15 線分 PQ，OP,
これと
.$*
OA
よって ② より AO：OD=13：7 なので，
6 x + 1 10 x - 1 10x + 11
＝ 0
4
2
0x +31
2
x3
OB
O
8
- OC
7
OA
1 ･ 0 x 4 + 31 - x ･ 4x 3
4
2
0 x + 31
lim f0 x 1 = lim
x
x
OB
⑬
2
f0 x 1
⑦
O
5
- OB
7
OB ･ OC
OB OC
4BOC=120, である．よって
＝-
OP - だけ平行移動した領域 ( 上の図の斜線部 ) である．
この領域 B - P - とし，P - を A - において動かすに伴って
1
より
2
B - P - を動かすことにより，R の動く領域は，次の図の網
掛け部のようになる．
1
3
△OBC＝ OB OC sin 120, ＝ U ．
2
4
また，① より
1
5
8
OA=- 05OB +8OC1＝- OB- OC
7
7
7
なので，A, B, C の位置関係は図 1 のようになり，
y
3
2
P-
7
13 5OB + 8OC
OA＝･
7
8 +5
であることから，辺 BC を 8：5 に内分する点を D とす
ると
13
7
OA=- OD すなわち　OD=- OA ……②
7
13
となるので，D は直線 OA上かつ直線 BC 上の点，すな
8
O
12
B -P-
13
x
-2
-3
よって求める面積は 6 2 -4 ･
1 2
･ 1 ＝34．……(ルレ)
2
3
©創医塾京都
本サービスに関する一切の権利は著作権者である創医塾京都に帰属します。掲載の全部または一部についての無断複製・転載を禁じます。

Download Report