95. 解答参照 (1) ∫ cosx sinx dx = log |sinx| と log 1 √ 2 = log 2−1 2

Z
cos x
1
1
1
95. 解答参照 (1)
dx = log | sin x| と log √ = log 2− 2 = − log 2 に注意
sin x
2
2
1 − cos 2θ
2
(2) 半角の公式より sin θ =
2
1 + cos 4θ
µ
¶2
1 − 2 cos 2θ +
2
1
−
cos
2θ
1
−
2
cos
2θ
+
cos
2θ
2
sin4 θ = (sin2 θ)2 =
=
=
.
2
4
4
√
x2
y2
x4 y 2
2
1
96. 解答参照 (2) u = , v =
より u2 v = 2 ·
= x3 ∴ x = 3 u2 v = u 3 v 3
y
x
y
x
√
∂x
2 1 1 ∂x
1 2 2
1
2
どうようにして y = 3 uv 2 = u 3 v 3 . よって
= x u = u− 3 v 3 ,
= xv = u 3 v − 3
∂u
3
∂v
3
∂y
1 − 2 2 ∂y
2 1 −1
= yu = u 3 v 3 ,
= yv = u 3 v 3 . ゆえに J = · · ·
∂u
3
∂v
3
1
について r が最大となるのは解答の図の矢印がさす直角三角
97. 解答参照 r の範囲 ² 5 r 5
sin θ
1
1
形の斜辺のときで, このとき sin θ =
. よって斜辺 =
.
斜辺
sin θ
¶
Z π
Z 0
Z √1 µ
2
2 1
1
1
sin θ
−dt
dθ =
= とおくと
+
dt = · · ·
cos θ = t とおくと
2θ
π
1 1 − t2
1
−
cos
2
1
+
t
1
−
t
√
0
4
2
98. 解答参照. 領域については教科書 p. 80 例題 4 も参照 (a = 2 の場合)
99. 解答参照
Z
∞
√
−x2
e
100. 例題, 解答参照. 例題同様
0
2
(1) (x − 1)2 e−x = (x2 − 2x + 1)e−x
2
π
を用いてよい.
2
2
2
2
2
2
= x2 e−x − 2xe−x + e−x ここで x2 e−x と e−x は偶関数,
dx =
2
xe−x は奇関数. よって例題より · · ·
√
(3) x = t とおくと x = t2 . よって dx = 2tdt
r
1
1
1
2
(4) log = t とおくと log = t2 . log = − log x だから log x = −t2 , x = e−t .
x
x
x
−t2
よって dx = e (−2t)dt.
101. 解答参照.
u+v 2 u−v
102. 解答参照 y+x2 = u, y−x2 = v とおくと u+v = 2y, u−v = 2x2 よって y =
,x =
.
2
2
r
u−v
x > 0 より x =
.
2
∂x
1 1
1
1
= xu = √ · (u − v)− 2 (u − v)u = p
,
∂u
2 2
2 2(u − v)
∂x
1 1
1
1
. よって J = · · ·
= xv = √ · (u − v)− 2 (u − v)v = − p
∂v
2 2
2 2(u − v)
u+v 2 u−v
1
3
領域については y =
,x =
を y 5 x2 , y 5 −x2 + 2, y = − x2 + に代入.
2
2
2
4

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