Z cos x 1 1 1 95. 解答参照 (1) dx = log | sin x| と log √ = log 2− 2 = − log 2 に注意 sin x 2 2 1 − cos 2θ 2 (2) 半角の公式より sin θ = 2 1 + cos 4θ µ ¶2 1 − 2 cos 2θ + 2 1 − cos 2θ 1 − 2 cos 2θ + cos 2θ 2 sin4 θ = (sin2 θ)2 = = = . 2 4 4 √ x2 y2 x4 y 2 2 1 96. 解答参照 (2) u = , v = より u2 v = 2 · = x3 ∴ x = 3 u2 v = u 3 v 3 y x y x √ ∂x 2 1 1 ∂x 1 2 2 1 2 どうようにして y = 3 uv 2 = u 3 v 3 . よって = x u = u− 3 v 3 , = xv = u 3 v − 3 ∂u 3 ∂v 3 ∂y 1 − 2 2 ∂y 2 1 −1 = yu = u 3 v 3 , = yv = u 3 v 3 . ゆえに J = · · · ∂u 3 ∂v 3 1 について r が最大となるのは解答の図の矢印がさす直角三角 97. 解答参照 r の範囲 ² 5 r 5 sin θ 1 1 形の斜辺のときで, このとき sin θ = . よって斜辺 = . 斜辺 sin θ ¶ Z π Z 0 Z √1 µ 2 2 1 1 1 sin θ −dt dθ = = とおくと + dt = · · · cos θ = t とおくと 2θ π 1 1 − t2 1 − cos 2 1 + t 1 − t √ 0 4 2 98. 解答参照. 領域については教科書 p. 80 例題 4 も参照 (a = 2 の場合) 99. 解答参照 Z ∞ √ −x2 e 100. 例題, 解答参照. 例題同様 0 2 (1) (x − 1)2 e−x = (x2 − 2x + 1)e−x 2 π を用いてよい. 2 2 2 2 2 2 = x2 e−x − 2xe−x + e−x ここで x2 e−x と e−x は偶関数, dx = 2 xe−x は奇関数. よって例題より · · · √ (3) x = t とおくと x = t2 . よって dx = 2tdt r 1 1 1 2 (4) log = t とおくと log = t2 . log = − log x だから log x = −t2 , x = e−t . x x x −t2 よって dx = e (−2t)dt. 101. 解答参照. u+v 2 u−v 102. 解答参照 y+x2 = u, y−x2 = v とおくと u+v = 2y, u−v = 2x2 よって y = ,x = . 2 2 r u−v x > 0 より x = . 2 ∂x 1 1 1 1 = xu = √ · (u − v)− 2 (u − v)u = p , ∂u 2 2 2 2(u − v) ∂x 1 1 1 1 . よって J = · · · = xv = √ · (u − v)− 2 (u − v)v = − p ∂v 2 2 2 2(u − v) u+v 2 u−v 1 3 領域については y = ,x = を y 5 x2 , y 5 −x2 + 2, y = − x2 + に代入. 2 2 2 4
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