問 - Biglobe

新微分積分 I
3 章積分法 § 1 不定積分と定積分 (p.78∼p.94)
Z ³
¤
¡
£問 1 ¢ C は積分定数
（ 4 ） Z ³
1 x4+1 + C
4+1
1
= x5 + C
5
Z
（ 2 ）与式 = x−3 dx
=
1
x−3+1
−3 + 1
= − 1 x−2 + C
2
1
=−
+C
2x2
Z
1
（ 3 ）与式 = x 3 dx
1 3
1
x + 2x −
+C
3
x
¤
¡
£問 3 ¢ C は積分定数
Z
1
（ 1 ） x4 dx = x5 + C より
5
1
· 1 (5x − 3)5 + C
与式 =
5 5
1
=
(5x − 3)5 + C
25
Z
（ 2 ） sin x dx = − cos x + C より
1 x 13 +1
1 +1
3
1
= 1 x1 · x 3 + C
4
3
3 √
= x3x+C
4
=
1 · (− cos 2x) + C
2
1
= − cos 2x + C
2
与式 =
Z
（ 3 ） ¤
¡
£問 2 ¢ C は積分定数
Z
（ 1 ） (x3 + 3x2 − 2x + 4) dx
Z
x3 dx + 3
Z
x2 dx − 2
Z
ex dx = ex + C より
1 · e4x+1 + C
4
1
= e4x+1 + C
4
与式 =
Z
x+4
dx
= 1 x4 + 3 · 1 x3 − 2 · 1 x2 + 4x + C
4
3
2
1 4
= x + x3 − x2 + 4x + C
4
¤
¡
£問 4 ¢
k , ∆x = 1 (n = 1, 2, · · · , n) より，
k
n
n
n
n
X k 1
X
·
= 12
k
S∆ =
n n
n k=1
k=1
（ 1 ） xk =
n(n + 1)
= 12 ·
2
n
2
n
= 1 · n +
2
n2
µ
¶
1
1
1+
=
2
n
(3 sin x + 4ex ) dx
（ 2 ） Z
=3
Z
sin x dx + 4
dx
=
=
Z
´2
´
x2 + 2 + 12 dx
x
Z
Z
Z
2
= x dx + 2 dx + x−2 dx
（ 1 ）与式 =
=
x+ 1
x
ex dx
= 3 · (− cos x) + 4ex + C
= −3 cos x + 4ex + C
（ 2 ） ∆xk → 0 のとき，n → ∞ であるから
Z ³
´
（ 3 ） 6 cos x + 2 dx
x
Z
Z
= 6 cos x dx + 2 1 dx
x
= 6 sin x + 2 log x + C
Z
1
0
x dx = lim 1
n→∞ 2
³
1+ 1
n
´
= 1 (1 + 0) = 1
2
2
¤
¡
£問 5 ¢
Z
Z
1
（ 1 ）与式 = 2
1
x dx +
0
dx
0
= 2 · 1 + 1(1 − 0)
2
=1+1=2
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新微分積分 I
Z
Z
1
（ 2 ）与式 = 5
Z
1
x2 dx − 3
0
Z
1
x+2
0
dx
0
1
¤
¡
£問 6 ¢
Z
（ 1 ） sin x dx = − cos x + C であるから
·
¸π
与式 = − cos x
Z
0
4
¸1
2 x √x
3
0
√
2
2
=
·1 1−0=
3
3
·
与式 =
1
Z
（ 3 ）与式 =
2
0
·
Z
x2 dx + 4
0
¸2
·
Z
2
0
0
¸2
0
·
0
3
5
4π
dx
Z
2
dx
0
¸2
· ¸2
− x
0
0
0
= (2 − 0) − (2 − 0) + 2(2 − 0) − (2 − 0)
5
4π
sin x dx − 2
cos x dx
π
4
¸ 54 π
− cos x
³
2
x dx −
= 4 1 x4 − 3 1 x3 + 4 1 x2
4
3
2
0
0
· ¸2 · ¸2
· ¸2 · ¸2
= x4 − x3 + 2 x2 − x
4
´
π
4
=
Z
x+2+ 1
x
·
¤
¡
£問 7 ¢
x3 dx − 3
1
¸4
1
2
=
x + 2x + log x
2
1
³
´
1
= (8 + 8 + log 4 ) −
+ 2 + log 1
2
1
+ log 22
= 14 −
2
27
=
− 2 log 2
2
·
1
= 2 x 2 +1 + C
3
√
= 2x x+C
3
2
³
与式 =
= −(−1) − (−1) = 2
Z
Z
√
1
（ 2 ） x dx = x 2 dx
Z
1
〔または〕
= − cos π − (− cos 0)
（ 1 ）与式 = 4
4
1 dx
x
·
¸4 · ¸4 ·
¸4
1
2
=
x
+ 2x + log x
2
1
1
1
³
´
1
+ (8 − 2) + (log 4 − log 1)
= 8−
2
= 15 + 6 + log 22
2
27
=
+ 2 log 2
2
= 5 · 1 − 3 · 1 + 2(1 − 0)
3
2
5
3
=
−
+2
3
2
13
= 10 − 9 + 12 =
6
6
であるから
³
´
x + 2 + 1 dx
x
1
Z 4
Z 4
Z
=
x dx + 2
dx +
4
（ 2 ）与式 =
·
¸ 54 π
− 2 sin x
π
4
´
π
4
= − cos 5 π − cos π
4
4
³
´
− 2 sin 5 π − sin π
4
4
µ √
µ √
√ ¶
√ ¶
2
2
2
2
=− −
−
−2 −
−
2
2
2
2
√
√
= −(− 2) − 2(− 2)
√
√
√
= 2+2 2=3 2
= 16 − 8 + 8 − 2 = 14
〔または〕
〔または〕
·
·
¸2
与式 = x4 − x3 + 2x2 − x
0
= (24 − 23 + 2 · 22 − 2) − 0
= 16 − 8 + 8 − 2 = 14
与式 =
¸ 54 π
− cos x − 2 sin x
³
π
4
´
= − cos 5 π − 2 sin 5 π
4
4
´
³
− − cos π − 2 sin π
4
4
µ√
√ ¶ µ √
√ ¶
2
2
2
2
=
+2·
− −
−2·
2
2
2
2
µ
√ ¶
√
√
3 2
3 2
− −
=3 2
=
2
2
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新微分積分 I
Z
1
（ 4 ）与式 =
Z
1
ex dx +
−1
Z
S=
−1
1
· ¸1
·
¸1
= ex
+ − e−x
−1
= (e − e
2
1 dx
x
·
¸2
= log x
e−x dx
1
−1
−1
) + {−e
−1
= log 2 − log 1
− (−e)}
= log 2 − 0 = log 2
= 2e − 2e−1
= 2(e − e−1 )
（ 2 ）区間［0, 1］において，ex > 0 であるから，求める図
〔または〕
¸1
·
形の面積を S とすると
与式 = ex − e−x
−1
y
= (e1 − e−1 ) − (e−1 − e1 )
y = ex
= 2e − 2e−1
= 2(e − e−1 )
¤
¡
£問 8 ¢
O
1
x
（ 1 ） x3 , x は奇関数，x2 , 2 は偶関数であるから
Z
1
与式 = 2
(−x2 + 2) dx
0
·
Z
= 2 − 1 x3 + 2x
3
0
n³
´
o
=2 −1 +2 −0
3
10
=2· 5 =
3
3
·
π
4
与式 = 2
·
0
¸1
0
= e1 − e0 = e − 1
¤
¡
£問 10 ¢
曲線と x 軸との交点を求めると
cos x dx
0
ex dx
= ex
（ 2 ） sin x は奇関数，cos x は偶関数であるから
Z
1
S=
¸1
x2 − 2x = 0
¸ π4
x(x − 2) = 0
= 2 sin x
0
よって，x = 0, 2
³
´
= 2 sin π − sin 0
4
µ√ ¶
√
2
=2
= 2
2
区間［0, 2］において，x2 − 2x <
= 0 であるから，求め
る図形の面積を S とすると
Z
S = −
2
(x2 − 2x) dx
0
¤
¡
£問 9 ¢
·
¸2
1 x3 − x2
3
0
³
´
8
=−
−4
3
´
³
4
=− −4 =
3
3
=−
（ 1 ）区間［1, 2］において，
1 > 0 であるから，求める図
x
形の面積を S とすると
y
y= 1
x
O
1
2
x
¤
¡
£問 11 ¢ C は積分定数
Z ³
´
1
（ 1 ）与式 =
+ cos x dx
2
cos x
= tan x + sin x + C
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新微分積分 I
Z
（ 2 ）与式 =
Z
cos2 x dx
sin2 x
1 − sin2 x dx
sin2 x
¶
Z µ
1 − 1 dx
=
sin2 x
=
= − cot x − x + C
¤
¡
£問 12 ¢ C は積分定数
Z
√ dx
（ 1 ）与式 =
32 − x2
x
= sin−1
+C
3
√
（ 2 ）与式 = log x + x2 − 9 + C
Z
(x2 + 1) − 1
dx
x2 + 1
¶
Z µ
1
x2 + 1 −
=
dx
x2 + 1
x2 + 1
¶
Z µ
1
=
1− 2
dx
x + 12
（ 3 ）与式 =
= x − tan−1 x + C
¤
¡
£問 13 ¢
Z
3
dx√
dx
2
x
+
( 3)2
1
·
¸3
= √1 tan−1 √x
3
3 1
µ
¶
= √1
tan−1 √3 − tan−1 √1
3
3
3
³
´
π − π
= √1
6
3 3
π
= √1 · π = √
3 6
6 3
（ 1 ）与式 =
·
（ 2 ）与式 =
log x +
= log 2 +
√
√
¸2
x2 + 4
0
22
+ 4 − log 0 +
√
0+4
√
= log(2 + 2 2) − log 2
√
√
2+2 2
= log
= log(1 + 2)
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