一次変換 1. 平面ベクトルの一次変換 本節と次節ではベクトルといえば平面ベクトルのこととし, また座標平面上の点 とその位置ベクトルを同一視する. 1.1. 2 次正方行列 A の定める一次変換とは, ベクトル x に対し x0 = Ax を対応さ せること. (座標平面から座標平面への写像) ( ) ( ) a 0 1 0 1.2. の定める一次変換は縦横独立変倍コピー. 特に の定める 0 b 0 −1 一次変換は x 軸に関する折り返し. ( ) cos θ − sin θ 1.3. 原点を中心とする角度 θ の回転は一次変換で, その行列は . sin θ cos θ 1.4. 行列 A, B の定める一次変換をこの順に合成したものは行列 BA の定める一 次変換と一致.(AB ではない) ( ) cos θ sin θ 1.5. 原点を通る直線に関する折り返しは一次変換で, その行列は . sin θ − cos θ (ただし θ は直線と x 軸のなす角の 2 倍) 証明(のヒント). この折り返しは, 原点を中心とする −θ/2 回転, x 軸に関する折 り返し, 原点を中心とする θ/2 回転, の合成. 2. 像, 逆像 2.1. 一次変換 x0 = Ax によって図形 F が図形 F 0 に写されるとき, F 0 を F の像, また F を F 0 の逆像という. 2.2. 点 x0 の像は Ax0 , 点 x0 の逆像は連立一次方程式 Ax = x0 の解. 0 0 0 ( 02.3. ) 図形 ( F) が座標 x , y についての方程式で表されるとき, この方程式に x x =A を代入して得られる x, y についての方程式が逆像を表す. y0 y 2.4. A−1 が存在すれば像も同様に求めることができる . すなわち, 図形 F を表す ( ) ( 0) x x 座標 x, y についての方程式に = A−1 0 を代入して得られる x0 , y 0 について y y の方程式が像を表す. 2.5. A の定める一次変換による座標平面全体の像を分類すると次の通り: (rankA = 2) 座標平面全体 原点を通る直線 (rankA = 1) 原点 (rankA = 0) 像の図形の「次元」と rankA との関係に注目! 線形代数 II でこれの一般化を習う. 1 2 2.6. F を面積有限の図形とし, 一次変換 x0 = Ax による像を F 0 とおくと (i) F 0 の面積は F の面積の | det A| 倍. (ii) F と F 0 の向きは det A > 0 のとき同一, det A < 0 のとき反転. 2.7. 1.4,2.6 により, 2 次行列の場合に det(AB) = det(A) det(B) が説明できる. 3. 空間ベクトルの一次変換 3.1. 同様に 3 次正方行列は空間ベクトルの一次変換を定め, その性質に関しては 平面ベクトルの場合と同様. ただし回転や折り返しはやや複雑 (パラメータが複数個 必要) になり, また 2.6 では「面積」を「体積」と読み替える必要がある. 4. 直交行列, 直交変換 4.1. P tP = tP P = E を満たす正方行列を直交行列, 直交行列の定める一次変換を 直交変換という. 4.2. 回転および折り返しを定める行列は 2 次直交行列. 4.3. 2 次直交行列は上の 2 種類に限る. 4.4. P を 2 次 (または 3 次) 直交行列とするとき, 任意の平面ベクトル (または空 間ベクトル)x, y に対し (P x, P y) = (x, y) が成り立つ. すなわち直交変換は内積 (したがって長さ・角度) を変えない. 4.5. 逆に P を 2 次 (または 3 次) 正方行列とするとき, 任意の x, y に対し (P x, P y) = (x, y) が成り立つならば P は直交行列であることが示せる. すなわち内積を変えな い一次変換は直交変換に限る. 5. 演習問題 0 1. 平面ベクトル ( x の直線 ) l : y = ax への正射影ベクトルを x とするとき 1 1 a x0 = x を示せ. 1 + a2 a a2 2. 1.5 を極座標を用いて直接示せ. 3. 2.6 を 1.2,(1.3, 1.5,)問 1 の場合に確認せよ. 1 1 −1 4. A = √ の定める一次変換による次の図形の像を求めよ。 1 2 1( ) 2 (i) 点 (ii) 直線 y = 3x + 1 (iii) 曲線 x2 + xy + y 2 = 1 7 ( ) 1 3 5. A = の定める一次変換による次の図形の逆像を求めよ。 2 4 ( ) 3 (i) 点 (ii) 直線 y = x + 3 6 ( ) 1 2 6. A = の定める一次変換による次の図形の逆像を求めよ。 2 4 ( ) ( ) 3 −2 (i) 点 (ii) 点 (iii) 直線 y = x + 3 6 1
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