隣接互換群の性質
数理科学Ｉ: 2015/7 松谷茂樹
1. An の元は Dn 間の全単射な写像であるので，上
記の Sn の部分集合である．
アミダくじと行列式
5
2. 図 5-1(a), (b) に示す An の元に対して，An の合成
5.1
アミダくじと置換群
写像から定まる積は図 5-1(c) のように繋げるとい
群
う操作
3. 逆元は上下逆さまにすること
集合 G と G における演算 ∗ により，(G, ∗) または簡単
に G が群とは，以下を満たすことである。
4. 単位元はすべては縦棒たち
群の定義 任意の x, y ∈ G に対して x ∗ y ∈ G
群の定義 任意の x, y, z ∈ G に対して (x ∗ y) ∗ z = x ∗
(y ∗ z) ∈ G
群の定義 (単位元の存在）任意の x に対して以下を満た
す e ∈ G が唯一つ存在する x ∗ e = e ∗ x = x.
群の定義 任意の x ∈ G に対して以下を満たす元 y ∈ G,
x ∗ y = y ∗ x = e. y を x−1 と記す．
1. 実ベクトル空間の加法性は、正確には加法群というべき
もの．加法群とは、群でかつ u ∗ v = v ∗ u ∈ G
隣接互換群隣接互換群の定義
で理解される．
対称群の定義と性質
図 5-１
隣接互換群 An とは Dn を集合 {1, 2, . . . , n − 1, n} に対
対称群とも呼ばれる置換群 Sn とは以下のようなもので
して，i ∈ Dn を固定した写像
ある．
Dn を集合 {1, 2, . . . , n − 1, n} とし、
Dn の並び順を変更する写像全体を
τ(i,i+1) : Dn → Dn
i + 1
τ(i,i+1) (j) =
i
j
ifj = i,
ifj = i + 1,
otherwise
Sn = {σ : Dn → Dn |σ は全単射 }
とすると Sn は群となり、これを置換群と呼ぶ．
例えば，n = 3 の場合、ある σ ∈ S3 は例えば {1, 2, 3} →
を様々な i による繰り返しで構成される写像 σ : Dn →
{3, 2, 1} とする。この場合 σ(1) = 3, σ(2) = 2, σ(3) = 1
Dn の元全体のことである．つまり、An := {σ : Dn →
となっており、
Dn }
上記、τ(i,i+1) は隣接する２つの元の入れ替え以外は変更
をしない作用であり、An はアミダくじで実現できるも
の全体である．
例えば図 5-1(a) のアミダくじ σ : D6 → D6 とし
(
)
1
σ(1)
と表すと、
2
σ(2)
(
1
5
3
σ(3)
4
σ(4)
5
σ(5)
2
2
4
6
6
4
3
3
5
1
(
1
3
2
2
)
3
1
1. 積は写像の合成.
2. 単位元は恒等写像 σ(i) = i
3. 逆元は逆写像
6
σ(6)
)
に対応する．
1
対称群 Sn の例
1. S1 = {σ : {1} → {1}} = {σ0 =
隣接互換群の例 1
( )
1
1
}
2. S2 = {σ : {1, 2} → {1, 2} | 全単射 }
)
)
(
(
{
1 2
1 2 }
= σ0 =
, σ1 =
1 2
2 1
3. S3 = {σ : {1, 2, 3} → {1, 2, 3} | 全単射 }
(
)
(
)
{
1 2 3
1 2 3
= σ0 =
, σ1 =
,
1 2 3
1 3 2
(
)
(
)
1 2 3
1 2 3
σ2 =
, σ3 =
,
3 2 1
2 1 3
(
)
(
)
1 2 3
1 2 3 }
σ4 =
, σ5 =
2 3 1
3 1 2
4. S4 = {σ : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4} | 全単射 }
(
)
(
)
(
)
{
1234
1234
1234
=
σ0 =
, σ1 =
, σ2 =
,
図 5-2
隣接互換群の例 2-1
1234
1243
1432
)
)
(
)
(
(
1234
1234
1234
,
, σ5 =
, σ4 =
σ3 =
3214
4231
1324
)
)
(
)
(
(
1234
1234
1234
,
, σ8 =
, σ7 =
σ6 =
1423
1342
2134
)
)
(
)
(
(
1234
1234
1234
,
, σ11 =
, σ10 =
σ9 =
2431
4213
3241
)
)
(
)
(
(
1234
1234
1234
,
, σ14 =
, σ13 =
σ12 =
3124
2314
4132
)
)
(
)
(
(
1234
1234
1234
,
, σ17 =
, σ16 =
σ15 =
2143
2413
2341
(
)
(
)
(
)
1234
1234
1234
σ18 =
, σ19 =
, σ20 =
,
3412
3142
3421
(
)
(
)
(
)}
1234
1234
1234
σ21 =
, σ22 =
, σ23 =
4123
4321
4312
隣接互換群の性質
補題 5.1 任意の互換は An の元で定まる．
命題 5.2 任意の Sn の元は An の元で定まる．
2
隣接互換群の例 2-2
符号関数の例
1. S1 : ϵ(σ0 ) = 1.
2. S2 : ϵ(σ0 ) = 1, ϵ(σ1 ) = −1
3. S3 : ϵ(σ0 ) = ϵ(σ4 ) = ϵ(σ5 ) = 1, ϵ(σ1 ) = ϵ(σ2 ) =
ϵ(σ3 ) = −1
4. S3 : ϵ(σ0 ) = ϵ(σ7 ) = ϵ(σ8 ) = ϵ(σ9 ) = ϵ(σ10 ) =
ϵ(σ11 ) = ϵ(σ12 ) = ϵ(σ13 ) = ϵ(σ14 ) = ϵ(σ17 ) =
ϵ(σ18 ) = ϵ(σ22 ) = 1,
ϵ(σ1 ) = ϵ(σ2 ) = ϵ(σ3 ) = ϵ(σ4 ) = ϵ(σ5 ) = ϵ(σ6 ) =
ϵ(σ15 ) = ϵ(σ16 ) = ϵ(σ19 ) = ϵ(σ20 ) = ϵ(σ21 ) =
ϵ(σ23 ) = −1
準備：
5.2
図 5-3
行列の表現方法
1. 正方行列 MatR (n) の元 A := (ai,j ) ≡ (aij ),
a1,1 · · · a1,n
a11 · · · a1n
Sn の元 σ に対して，σ = τ1 ◦ · · · ◦ τℓ , (τi = (si , si + 1),
.
..
..
..
..
.
.
si ∈ {1, . . . , n − 1}) と書けるとき，符号関数 ϵ : Sn →
A≡
.
.
. ≡ ..
.
.
{−1, 1} を以下で定義する：
an,1 · · · an,n
an1 · · · ann
符号関数の定義
ϵ(σ) := (−1)ℓ .
2. A ≡ (a•1 , . . . , a•n )
a1j
.
3. a•j := ..
.
anj
4. クロネッカーのデルタ
{
1 i = j のとき
.
δij =
0
それ以外
符号関数の性質
1. アミダくじには (1, 2)(3, 4) = (3, 4)(5, 6)(6, 5)(1, 2)
等同じ置換を与える異なる表現があり，非自明なこ
5. 単位行列 In := (δij ) ∈ MatR (n)
In は (In )2 = In .
とであるが，それらに対して ϵ が同じ値を与える．
2. σ, τ ∈ Sn に対して，
ϵ(σ ◦ τ ) = ϵ(σ)ϵ(τ ),
ϵ(σ −1 ) = ϵ(σ)
6. 転置 A := (aij ) ∈ MatR (n) に対して転置とは At :=
(aji ) ∈ MatR (n) とする
(
)t (
)
a b
a c
例えば
=
です．
c d
b d
5.3
行列式の定義
行列式の定義
MatR (n) の元 A := (aij ) に対して，以下を A の行列式
とする：
det A :=
∑
ϵ(σ)a1,σ(1) a2,σ(2) · · · an,σ(n) .
σ∈Sn
3
行列式の例
行列式の性質１
F (a•1 , . . . , a•n ) := det(a•1 , . . . , a•n ) とした際に次の 4
つの事実が成り立つ：
1. c1 , . . . , cn ∈ R に対して F (c1 a•1 , . . . , cn a•n ) =
c1 · · · cn F (a•1 , . . . , a•n )．
S3 = {σ1 , σ2 , . . . , σ6 } を利用して、
a11
det a21
a12
a22
a13
2
∑
ϵ(σi )a1σi (1) a2σi (2) a3σi (3)
a23 =
a31
a32
a33
行列式の例 2
a11
a21
det
a
31
a41
=
2
∑
a12
a22
a32
a42
2. 任意の j について F (a•1 , . . . , a•j + a′•j , . . . , a•n ) =
F (a•1 , . . . , a•j , . . . , a•n )+F (a•1 , . . . , a•j , . . . , a•n )．
i=1
a11 a22 a33 + a12 a23 a31
= +a21 a32 a13 − a13 a22 a31
−a12 a21 a33 − a23 a32 a11 .
a13
a23
a33
a43
a14
a24
a34
a44
3. τ ∈ Sn に対して，F (a•τ (1) , a•τ (2) , . . . , a•τ (n) ) =
ϵ(τ )F (a•1 , a•2 , . . . , a•n )．
4. F (In ) = 1．
証 明：(1),(2) は 自 明 ．(3)
F (a•τ (1) , . . . , a•τ (n) ) は
=
= ϵ(τ )
∑
ϵ(σ ′ )a1σ′ (1) · · · an,σ′ (n) .
逆に行列式は命題 5.3 の性質 1-4(1,2 は多重線形性，3
− a11 a23 a32 a44 − a13 a22 a33 a41 − a13 a22 a31 a44
は交代性，4 は規格化) をもつものとして完全に特徴付
− a12 a21 a33 a44 + a11 a23 a34 a42 + a11 a24 a32 a43
けられます
行列式の性質 3：行列とその転置
+ a13 a22 a34 a41 + a14 a22 a31 a43 + a12 a24 a33 a41
+ a14 a21 a33 a42 + a12 a13 a31 a44 + a13 a21 a32 a44
− a14 a21 a32 a43 + a14 a23 a32 a41 − a14 a22 a31 a42
ϵ(σ)a1στ (1) · · · an,στ (n)
ここで，ϵ(τ )ϵ(τ ◦ σ) = ϵ(σ) を利用する．■
行列式の性質２
= a11 a22 a33 a44 − a11 a22 a34 a43 − a11 a24 a43 a42
が交代性を意味する．
σ ′ ∈Sn
ϵ(σi )a1σi (1) a2σi (2) a3σi (3) a4σi (4)
+ a13 a24 a31 a42 − a13 a21 a34 a42 − a14 a22 a33 a41
∑
σ∈Sn
i=1
− a12 a23 a34 a41 − a12 a24 a31 a43 + a12 a21 a34 a43
命題 5.3 A = (aij ) ∈ MatR (n) に対して F (A) ≡
= a11 a22 − a12 a21 .
行列式の性質
5.4
S2 = {σ1 , σ2 } を利用して、
(
)
2
∑
a11 a12
det
=
ϵ(σi )a1σi (1) a2σi (2)
a21 a22
i=1
命題 5.4 det A = det At ．
証明：
∑
det At =
ϵ(σ)aσ(1)1 · · · aσ(n)n
σ∈Sn
∑
=
ϵ(σ)a1σ−1 (1) · · · anσ−1 (n) .
σ∈Sn
ϵ(σ) = ϵ(σ −1 ) より定まります．■
行列式の性質４
命題 5.5
1. det(a•1 , . . . , 0, . . . , a•n ) = 0.
2. det(a•1 , . . . , a•i , . . . , a•i , . . . , a•n ) = 0.
3. det(a•1 , . . . , a•i , . . . , a•j + ca•i , . . . , a•n )
4
= det(a•1 , . . . , a•i , . . . , a•j , . . . , a•n ).
行列式の性質５：積の保存
ラプラス展開、余因子展開の例
命題 5.6 A, B ∈ MatR (n) に対して
S2 = {σ1 , σ2 } を利用して、
a
11 a12 = a11 det(a22 ) − a12 det(a21 )
a21 a22 det(AB) = det A det B.
S3 = {σ1 , σ2 , . . . , σ6 } を利用して、
これにより，行列式は積を保存する．
証明：C = AB とし，C = (cij ), A = (aij ), B = (bij ) とす
ると，5.2 節の記法を利用すること
∑
∑
(c•1 , . . . , c•n ) = (
a•ℓ bℓ1 , . . . ,
a•ℓ bℓn )
ℓ
ℓ1 ,...,ℓn
=
∑
((
bℓ1 1 · · · bℓn n ϵ
ℓ1 ,...,ℓn
···
···
1
ℓ1
n
ℓn
))
a22
a31 a32
(
a22
= a11 det
a32
(
a21
+ a13 det
a31
となり，証明される．■
a11
a21
det
a
31
a12
a13
a22
a32
a23
a33
a41
a42
a43
余因子
余因子
A := (aij ) ∈ MatR (n) に対して A(i,j) を A の内 i 行 j 列
を除いたものとします．例えば n = 5 では
A(2,3)
a11
a31
=
a41
a51
a12
a32
a42
a52
a15
a35
a45
a55
a14
a34
a44
a54
a
:= (−1)
i+j
a23
a33
)
(
a23
a21
− a12 det
a33
a31
)
a22
a23
a33
)
a32
a22
a24
= a11 det
a32
a34
a42
a44
a21
− a12 det a31
a41
a21
+ a13 det a31
a14
a23
a33
a43
a24
a34
a44
a41
a32
a42
a21
− a14 det a31
a22
a32
a24
a34
a44
a24
a34
a44
a23
a33
a41
a42
a43
a23
a33
a43
a22
det A
証明：“ˇ” はその項を除くという操作とし，左辺が
補題 5.7 任意の i, j に対して，次が成り立つ：
det(a•1 , . . . , ǎ•i , a•j , . . . a•n )
a(k,i) akj = δij det A.
となる事から証明されます．■
k
(i,j)
とする．これを余因子と呼ぶ．
ラプラス展開、余因子展開
∑
a13
となるものです．このとき，
(i,j)
a12
ラプラス展開、余因子展開の例
× det(a•1 , . . . , a•n )
5.5
det a21
ℓ
となります．多重線型性を利用すると det C は
∑
=
bℓ1 1 · · · bℓn n det(a•ℓ1 , . . . , a•ℓn )
a11
5.6
逆行列
A ∈ MatR (n) に対して BA = AB = In となる B ∈
MatR (n) を逆行列と呼び，B を A−1 と記す．積の逆元である．
（ケイリー (1821-1895) はシルベスターの 1850 年の論文を
基に行列の理論を構築 (1858 年) し、その過程でこの公式を
発見 [2]．
）
5
逆行列の公式
特殊線型変換群
ラプラス展開、余因子展開の式より A ∈ MatR (n) で
SL(n, R) := {A ∈ GL(n, R) | det A = 1}．
ユニタリー群：
det A ̸= 0 とすると
A−1 =
一般線形群
1 ( (j,i) )
a
det A
U(n) はエルミート内積 (, )H を保存します．つまり，
u, v ∈ Cn ，A ∈ U(n) に対して，(u, v)H = (Au, Av)H
となります．
特殊ユニタリー群：
SU(n) := {A ∈ U(n, C) | det A = 1}．
直交変換群：
O(n) := {A ∈ GL(n, R) | At = A−1 }．
特殊直交変換群：
SO(n) := {A ∈ O(n) | det A = 1}．
GL(n, R) := {A ∈ MatR (n) | det A ̸= 0}
とすると GL(n, R) は MatR (n) の中で積の逆元を持つも
の全体です．GL(n, R) は積について群をなし，一般線型
5.7
外積
n 次元 R ベクトル空間 V に対して ∧ 積 (ウェッジ積) と呼
ぶものを導入できる．
ここでは３次元に限る。
6.2
ε
指数関数表示
指数関数表示
ε として次のようなものを用意する
eU = In +
ε132 = ε321 = ε213 = −1
(ijk) = 123, 231, 312, 132, 321, 213 以外
外積
この時
(u × v)i =
∑
6.3
jk
(u × v)1 = u2 v3 − u3 v2
リー群とリー環
6.1
一般線形群
n 次元実ベクトル空間に対して
となる。
SO(2) の指数表示
SO(2)
G
∈ SO(2))は
(θ
( (
))
cos θ − sin θ
0 −1
= exp θ
1 0
sin θ cos θ
と書ける。
GL(n, R) := {A ∈ MatR (n) | det A ̸= 0}
を一般線形群という。
2 次元直交変換群 SO(2) の元はパラメータ θ ∈ R により，
(
)
cos θ − sin θ
SO(2)
Gθ
=
sin θ cos θ
(u × v)2 = u3 v1 − u1 v3
6
SO(2)
直交変換群 SO(n) の構成方法について記します．
SO(2)：
と定義する．これは
∑ 1
1
1
U + U2 + · · · ≡
Uj
1!
2!
j!
j=0
と定義する
εijk uj vk
(u × v)3 = u1 v2 − u2 v1
行列 U ∈ MatR (n) に関して，
ε123 = ε231 = ε312
εijk = 0,
U(n) := {A ∈ GL(n, C) | A∗ = A−1 }．
det A がゼロか否かにより逆行列の存在の有無が決まる．
群と呼ぶ．
6
(
)2
(
)
6.4 SO(3) のオイラー表示
0 −1
1 0
この等号は
=−
を基にする。つまり、
1 0
0 1
SO(3) のオイラー表示
( (
))
(
)ℓ
∞
SO(3)
∑
0 −1
1 ℓ 0 −1
SO(3)：SO(3) の任意の元 G に対して，G = Gψ,θ,φ
exp θ
=
θ
ℓ!
1 0
1 0
となる 3 つのパラメータ θ，φ，ψ ∈ R が存在して，
ℓ=0
SO(3)
SO(3)
SO(3) SO(3)
)
)
(
(
ℓ
2ℓ+1
Gψ,θ,φ := Gx−y,ψ Gz−x,θ Gx−y,φ ,
∞
∞
∑
∑
1
1
2ℓ 1 0
2ℓ+1 0 −1
=
(−θ)
+
(θ)
(2ℓ)!
(2ℓ + 1)!
0 1
1 0
ℓ=0
ℓ=0
cos φ − sin φ
(
)
SO(3)
,
cos φ
Gx−y,φ := sin φ
cos θ − sin θ
=
1
sin θ cos θ
ここで
cos θ =
∞
∑
ℓ=0
sin θ =
(
と
∞
∑
ℓ=0
SO(3)
Gz−x,θ
1
(−θ)2ℓ
(2ℓ)!
sin θ
1
− sin θ
,
cos θ
と表現できる．
1
(θ)2ℓ+1
(2ℓ + 1)!
図のように SO(3) の元は 3 軸での SO(2) の回転の順繰
りの操作で表現されるこれをオイラー表現と呼ぶ．
)2
(
)
0 −1
1 0
=−
を利用している。
1 0
0 1
SO(2) の指数表示から帰結
:=
cos θ
(
)
cos(α + β) − sin(α + β)
sin(α + β) cos(α + β)
(
)(
)
cos α − sin α
cos β − sin β
=
sin α cos α
sin β
cos β
(
)
cos α cos β − sin α sin β − cos α sin β − sin α cos β
=
cos α sin β + sin α cos β
cos α cos β − sin α sin β
SO(2) と２次元空間の回転
2 次元のデカルト座標の回転により正規直交基底を正規
直交基底に変換する
)
( ) (
u1 cos θ − u2 sin θ
SO(2) u1
Gθ
=
u2
SO(2)
となり，(u, v) = (Gθ
オイラー表現
これはオイラー (1707-1783) がコマの運動を研究する際
u1 sin θ + u2 cos θ
SO(2)
u, Gθ
1
に見つけたもの．但し，GSO(3)
y−z,ϕ :=
v) となる。
cos ϕ
sin ϕ
− sin ϕ とし
cos ϕ
SO(3)
SO(3) SO(3)
て，Gy−z,ψ′ Gz−x,θ Gx−y,φ としても SO(3) の任意の元を表現
できます．
SO(3) の指数表示
SO(3)
SO(3)
SO(3)
Gx−y,φ = eφL1 , Gy−z,ϕ = eϕL2 , Gz−x,θ = eθL3 ,
(
)
(
但 し ，L1 :=
(
L3 :=
7
0
0
−1
0
0
0
0 −1
1
0
0
0
)
1
0 ．
0
0
0 ,
0
L2 :=
0
0
0
0
0
1
)
0
−1 ,
0
SU(2) の標準表示
跡 (トレース：せき) の定義
)
α β
SU(2)：SU(2) の元は
=
となります．
−β̄ ᾱ
但し α = α1 + α2 i, β = β1 + β2 i は C の元で，
SU(2)
det Gα,β = 1 の条件から ᾱα + β̄β = 1 となります．
(
A := (aij ) ∈ MatC (n) に対して，跡を trA :=
SU(2)
Gα,β
n
∑
aii と
i=1
定義する．
シューアの三角化定理によりシューアの標準形としての
U
つまり，α12 + α22 + β12 + β22 = 1
や T の存在が保証される．
．
ここで K = C として行列と跡との関係について述べる
SU(2) の指数表示
任意の行列 A ∈ MatC (n) は適当な行列 U ∈ GL(n, C) と
SU(2)
ψ(ξ1 J1 +ξ2 J2 +ξ3 J3 )
2
2
2
T
∈ MatC (n) によって
Gα,β = e
, 但し，ξ1 + ξ2 + ξ3 = 1,
Ja := 2i σa , (a = 1, 2, 3)
λ1
(
σ1 :=
0
1
)
1
, σ2 :=
0
(
0
−i
)
i
, σ3 :=
0
(
1
0
0
A = U −1 T U, T =
...
)
0
.
−1
0
シューアの補題
det A
A ∈ MatC (n) は、適当な上三角行列 T ∈ MatC (n) が存
在し，A と T とが相似となる．但し，T が上三角行列と
は T = (tij ) で tij = 0 (i > j) のことである．
∗
∗
∗
λn
trA =
=
n
∑
det T , trA
=
trT よ り det A =
n
∏
λi ,
i=1
λi
i=1
また，行列 B ∈ Mat(r, C) が B r = 0 と (s < r) で B s ̸= 0
を満たすならば，B と相似となり sij = 0 (i ≥ j) とする
S = (sij ) が存在する．
証明 定理は MatC (n) の n についての帰納法で証明され
ます．λa ∈ C に対して Au = λa u となる u(̸= 0) を固有値
λa を持つ固有ベクトルと呼びます．右辺を左辺に移行する
ことで (A − λa I)u = 0 が成立するための条件が特性多項式
fA (λ) = 0 です．λa はその根です．n = 1 のとき (a11 ) は三
角行列でもあり定理は成り立ちます．A の固有値は重複も含
め n 個存在します．その内 A の λ1 を持つ固有ベクトル v1 と
します．(u, v)H := u∗ v とする内積による u1 := v1 /|v1 | を含
む正規直交基底 {ua } 対して Pn := (u1 , u2 , · · · , un ) とすると
−1
detP
= P ∗ が言えます．この時，Pn−1 APn =
( n ̸= 0 と
)P
λ1
∗
と書けます．An−1 は MatC (n − 1) の元であ
0 An−1
り帰納法の仮定より三角化可能な
Pn−1 が存在します．P :=
(
)
1
0
Pn
により定理が証明されます． ■
0 Pn−1
物理などで重要な A がエルミート行列（A = A∗ ）であ
る場合は，A は対角行列に相似となる．
．エルミート行列の場
合は固有値 λi は実数で，各固有ベクトル ui は (ui , Auj )H =
(Aui , uj )H より (λi − λj )(ui , uj )H = 0 となり互いに直交し
ていることが判る．固有値が正の場合，A は正定値エルミー
ト行列と呼ばれる．
7.1
···
···
..
.
···
跡と行列式の定義
シューアの補題と指数表示
7
∗
λ2
..
.
0
跡 (トレース：せき)、行列式と指数表示
行列式に対応して，跡を定義しましょう．
8
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