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解析学 D 自習用問題 No.6 略解
（2014.11.7 掲載）
(1) 講義ノートをご覧ください．
(2) 今日の講義で学んだ補題「y1 , . . . , yn ∈ C n−1 (I) に対し，ある x0 ∈ I が存在して
W [y1 , . . . , yn ](x0 ) 6= 0 ならば y1 , . . . , yn は一次独立」……(?) を使います．
各関数の組の Wronskian は
(i) x
(ii) e2x (x − 2)
(iii) 12
となりますので，それを用いて一次独立性を示すことができます．

3

(x > 0)

x
f2 (h) − f2 (0)
f2 (h) − f2 (0)
(3) (i) f2 (x) = 0
と lim
を
(x = 0) ですから， lim
h→+0
h→−0

h
h

−x3 (x < 0)
計算し，両者が等しいことから f20 (0) を求めます．答は f10 (0) = f20 (0) = 0 です．

2

(x > 0)

3x
(ii) f10 (x) = 3x2 ，f20 (x) =
0


−3x2
(x = 0) であるから，
(x < 0)
(
)
x3 x3
• x > 0 のときは W [f1 , f2 ](x) = det
= 0，
3x2 3x2
(
)
0 0
• x = 0 のときは W [f1 , f2 ](x) = det
= 0，
0 0
(
)
x3 −x3
• x < 0 のときは W [f1 , f2 ](x) = det
=0
3x2 −3x2
である．従って，任意の x ∈ R に対して W [f1 , f2 ](x) = 0 である．
(iii) c1 , c2 ∈ R に対し c1 f1 (x) + c2 f2 (x) = 0 (∀x ∈ R) とする．x = 1 を代入すると
c1 + c2 = 0，x = −1 を代入すると −c1 + c2 = 0 であるから，c1 = c2 = 0 を得る．従っ
て，f1 , f2 は一次独立である．
(iv) (2) にある命題 (?) の逆は成り立たない，ということ．
(4) (i) y1 を (∗) の解で y1 (x0 ) = 1, y10 (x0 ) = 0, y100 (x0 ) = 0 を満たすもの，
y2 を (∗) の解で y2 (x0 ) = 0, y20 (x0 ) = 1, y200 (x0 ) = 0 を満たすもの，
y3 を (∗) の解で y3 (x0 ) = 0, y30 (x0 ) = 0, y300 (x0 ) = 1 を満たすものとおくと，
講義で学んだのと同じようにして {y1 , y2 , y3 } が S の基底となることを示すことができ
ます．
(ii) (∗) の解の中で y(x0 ) = 0 を満たすものの全体 S1 は，{y2 , y3 } で張られることが示
せるので，dim S1 = 2 です1 ．
もしくは，ϕ : S → R を ϕ(y) = y(x0 ) (y ∈ S) と定義すると，ϕ は全射な線形写像で S1 = Ker ϕ であ
ることにより，次元定理から dim S1 = dim S − dim Im ϕ = 3 − 1 = 2 と求めることもできます．
1

cos x
cos 3x
sin x
sin 3x
 − sin x −3 sin 3x cos x
3 cos 3x 


(5) まず，A(x) = W [f1 , f2 , f3 , f4 ](x) = det 

− cos x −9 cos 3x − sin x −9 sin 3x 
sin x
27 sin 3x − cos x −27 cos 3x
……(♣) であることに注意する．

f1 , f2 , f3 , f4 を解にもつ定数係数斉次線形常微分方程式を 1 つ求めよう．関数の形から，
特性方程式は ±i, ±3i を解にもつので，そのようなものの 1 つは
(λ − i)(λ + i)(λ − 3i)(λ + 3i) = 0.
∴ λ4 − 10λ2 + 9 = 0
である．従って，求める微分方程式は y (4) − 10y 00 + 9y = 0 である．
よって，
A(x) = W [f1 , f2 , f3 , f4 ](x) = W [f1 , f2 , f3 , f4 ](0)e
∫x
0
0 ds
= W [f1 , f2 , f3 , f4 ](0)
が成り立つ2 ．
(♣) から


1
1
0
0
0
0
1
3 


W [f1 , f2 , f3 , f4 ](0) = det 

−1 −9 0
0 
0
0 −1 −27


1
1
0
0
−1 −9 0
0 


= − det 

0
0
1
3 
0
0 −1 −27
(
)
(
)
1
1
1
3
= − det
det
= −192
−1 −9
−1 −27
が分かるので，任意の x ∈ R に対して W [f1 , f2 , f3 , f4 ](x) = −192 である．
2
x0 ∈ I, an−1 (x), . . . , a1 (x), a0 (x) ∈ C(I) とし，y1 , y2 , . . . , yn ∈ C n (I) が
y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = 0
の解であるならば
W [y1 , y2 , . . . , yn ](x) = W [y1 , y2 , . . . , yn ](x0 )e
−
∫x
x0
an−1 (s) ds
(x ∈ I)
が成立することを使いました（講義では n = 2 のときを証明しました）．ここでは y 000 の係数は 0 ですね．

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