線形代数学Ⅱ 補足プリント 3 2014 年度後期 工学部 1 年 担当: 原 隆 (未来科学部数学系列・助教) ■転置行列の行列式について 命題 n 次正方行列 A = (aij )1≤i,j≤n に対して ∑ sgn(σ)aσ(1)1 aσ(2)2 · · · aσ(n)n = ∑ sgn(τ )a1τ (1) a2τ (2) · · · anτ (n) τ ∈Sn σ∈Sn が成り立つ。 講義で扱った様に、この式から det(A) = det(t A) (つまり 転置行列の行列式が元の行列の行列 式と変わらない ということ) が従います。式の右辺は、『線形代数学Ⅱ』のテキストに於ける行列式 det(A) の定義式となっていることに注意。 証明. 置換 σ は ( σ= 1 σ(1) 2 ... σ(2) . . . n−1 σ(n − 1) ) ( −1 n σ (1) σ −1 (2) . . . = σ(n) 1 2 ... σ −1 (n − 1) σ −1 (n) n−1 n ) と表されるから (2 つ目の等号は、2 行目の σ(1), σ(2), . . . , σ(n) を 1, 2, . . . , n の順となる様に並べ 替えることで成り立つ)、積の順番を入れ替えると ∑ sgn(σ)aσ(1)1 aσ(2)2 · · · aσ(n)n = σ∈Sn ∑ sgn(σ)a1σ−1 (1) a2σ−1 (2) · · · anσ−1 (n) σ∈Sn = ∑ sgn(σ −1 )a1σ−1 (1) a2σ−1 (2) · · · anσ−1 (n) σ∈Sn (演習問題 2-2. (2) より) となる。τ = σ −1 とおこう。すると σ = τ −1 が Sn の全ての元を動くとき (即ち σ が全ての n 次 置換を動くとき)、 τ も Sn の全ての元を漏れ無く動くので*1 、結局 ∑ sgn(σ)aσ(1)1 aσ(2)2 · · · aσ(n)n = ∑ sgn(τ )a1τ (1) a2τ (2) · · · anτ (n) τ −1 ∈S σ∈Sn = ∑ n sgn(τ )a1τ (1) a2τ (2) · · · anτ (n) τ ∈Sn が成り立つ。 *1 n 次置換 τ に n 次置換 τ −1 を対応させることを考えると、明らかに τ と τ ′ が異なる置換であったら τ −1 ̸= (τ ′ )−1 となるので、対応 τ → τ −1 は Sn の元と Sn の元の間の 1 対 1 対応となっていることが分かります。 1 ■行列式の乗法性について 定理 n 次正方行列 A, B に対して (“積の行列式は行列式の積”) det(AB) = det(A) det(B) が成り立つ。 証明. n 個の n 次元ベクトル b1 , b2 , . . . , bn に対して実数を対応させる関数 f (b1 , b2 , . . . , bn ) = det(Ab1 Ab2 . . . Abn ) (= det(AB)) は多重線形性及び歪対称性を満たす。実際、 f (b1 , . . . , bj + b′j , . . . , bn ) = det(Ab1 . . . A(bj + b′j ) . . . Abn ) = det(Ab1 . . . Abj + Ab′j . . . Abn ) 1◦ = det(Ab1 . . . Abj . . . Abn ) + det(Ab1 . . . Ab′j . . . Abn ) = f (b1 , . . . , bj , . . . , bn ) + f (b1 , . . . , b′j , . . . , bn ) (1 ≤ j ≤ n) f (b1 , . . . , λbj , . . . , bn ) = det(Ab1 . . . A(λbj ) . . . Abn ) = det(Ab1 . . . λAbj . . . Abn ) 1◦ = λ det(Ab1 . . . Abj . . . Abn ) = λf (b1 , . . . , bj , . . . , bn ) (1 ≤ j ≤ n, λ ∈ R), より f が多重線形性を満たすことが確認でき、また f (b1 , . . . , bi , . . . , bj , . . . , bn ) = det(Ab1 . . . Abi . . . Abj . . . Abn ) 2◦ = − det(Ab1 . . . Abj . . . Abi . . . Abn ) = −f (b1 , . . . , bj , . . . , bi , . . . , bn ) (1 ≤ i ̸= j ≤ n) より f が歪対称性を満たすことも従う。したがって、講義で扱った命題 (と行列式の成分表示) から f (b1 , b2 , . . . , bn ) = ∑ sgn(σ)bσ(1)1 bσ(2)2 · · · bσ(n)n f (e1 , e2 , . . . , en ) σ∈Sn = det(B)f (e1 , e2 , . . . , en ) が成立する。ここで f (e1 , e2 , . . . , en ) = det(Ae1 Ae2 . . . Aen ) a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n = det . .. .. = det(A) .. .. . . . an1 an2 ... ann であるから、結局 det(AB) = f (b1 , b2 , . . . , bn ) = det(B) det(A) が成り立つ。 2
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