補足プリント3

線形代数学Ⅱ 補足プリント 3
2014 年度後期
工学部 1 年
担当: 原隆 (未来科学部数学系列・助教)
■転置行列の行列式について
命題
n 次正方行列 A = (aij )1≤i,j≤n に対して
∑
sgn(σ)aσ(1)1 aσ(2)2 · · · aσ(n)n =
∑
sgn(τ )a1τ (1) a2τ (2) · · · anτ (n)
τ ∈Sn
σ∈Sn
が成り立つ。
講義で扱った様に、この式から det(A) = det(t A) (つまり転置行列の行列式が元の行列の行列
式と変わらないということ) が従います。式の右辺は、『線形代数学Ⅱ』のテキストに於ける行列式
det(A) の定義式となっていることに注意。
証明. 置換 σ は
(
σ=
1
σ(1)
2
...
σ(2) . . .
n−1
σ(n − 1)
) ( −1
n
σ (1) σ −1 (2) . . .
=
σ(n)
1
2
...
σ −1 (n − 1) σ −1 (n)
n−1
n
)
と表されるから (2 つ目の等号は、2 行目の σ(1), σ(2), . . . , σ(n) を 1, 2, . . . , n の順となる様に並べ
替えることで成り立つ)、積の順番を入れ替えると
∑
sgn(σ)aσ(1)1 aσ(2)2 · · · aσ(n)n =
σ∈Sn
∑
sgn(σ)a1σ−1 (1) a2σ−1 (2) · · · anσ−1 (n)
σ∈Sn
=
∑
sgn(σ −1 )a1σ−1 (1) a2σ−1 (2) · · · anσ−1 (n)
σ∈Sn
(演習問題 2-2. (2) より)
となる。τ = σ −1 とおこう。すると σ = τ −1 が Sn の全ての元を動くとき (即ち σ が全ての n 次
置換を動くとき)、 τ も Sn の全ての元を漏れ無く動くので*1 、結局
∑
sgn(σ)aσ(1)1 aσ(2)2 · · · aσ(n)n =
∑
sgn(τ )a1τ (1) a2τ (2) · · · anτ (n)
τ −1 ∈S
σ∈Sn
=
∑
n
sgn(τ )a1τ (1) a2τ (2) · · · anτ (n)
τ ∈Sn
が成り立つ。
*1
n 次置換 τ に n 次置換 τ −1 を対応させることを考えると、明らかに τ と τ ′ が異なる置換であったら τ −1 ̸= (τ ′ )−1
となるので、対応 τ → τ −1 は Sn の元と Sn の元の間の 1 対 1 対応となっていることが分かります。
1
■行列式の乗法性について
定理
n 次正方行列 A, B に対して
(“積の行列式は行列式の積”)
det(AB) = det(A) det(B)
が成り立つ。
証明. n 個の n 次元ベクトル b1 , b2 , . . . , bn に対して実数を対応させる関数
f (b1 , b2 , . . . , bn ) = det(Ab1 Ab2 . . . Abn )
(= det(AB))
は多重線形性及び歪対称性を満たす。実際、
f (b1 , . . . , bj + b′j , . . . , bn ) = det(Ab1 . . . A(bj + b′j ) . . . Abn )
= det(Ab1 . . . Abj + Ab′j . . . Abn )
1◦
= det(Ab1 . . . Abj . . . Abn ) + det(Ab1 . . . Ab′j . . . Abn )
= f (b1 , . . . , bj , . . . , bn ) + f (b1 , . . . , b′j , . . . , bn )
(1 ≤ j ≤ n)
f (b1 , . . . , λbj , . . . , bn ) = det(Ab1 . . . A(λbj ) . . . Abn ) = det(Ab1 . . . λAbj . . . Abn )
1◦
= λ det(Ab1 . . . Abj . . . Abn ) = λf (b1 , . . . , bj , . . . , bn )
(1 ≤ j ≤ n, λ ∈ R),
より f が多重線形性を満たすことが確認でき、また
f (b1 , . . . , bi , . . . , bj , . . . , bn ) = det(Ab1 . . . Abi . . . Abj . . . Abn )
2◦
= − det(Ab1 . . . Abj . . . Abi . . . Abn )
= −f (b1 , . . . , bj , . . . , bi , . . . , bn )
(1 ≤ i ̸= j ≤ n)
より f が歪対称性を満たすことも従う。したがって、講義で扱った命題 (と行列式の成分表示) から
f (b1 , b2 , . . . , bn ) =
∑
sgn(σ)bσ(1)1 bσ(2)2 · · · bσ(n)n f (e1 , e2 , . . . , en )
σ∈Sn
= det(B)f (e1 , e2 , . . . , en )
が成立する。ここで
f (e1 , e2 , . . . , en ) = det(Ae1 Ae2 . . . Aen )


a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 


= det  .
..
..  = det(A)
..
 ..
.
.
. 
an1
an2
...
ann
であるから、結局
det(AB) = f (b1 , b2 , . . . , bn ) = det(B) det(A)
が成り立つ。
2

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