数学演習 IA・小テスト (７月３０日分) 1. 以下の３つの空間の例に対して, (i) 和とスカラー倍を定義し, (ii) 更にそれらが ベクトル空間になっている（つまり和やスカラー倍で閉じている）ことを証明せよ. (1) 実数係数の n 次多項式全体の空間 Pn (R). (2) 実数を成分にもつ m × n 行列の全体の空間 Mm,n (R). (3) a1 , . . . , ak ∈ R としたとき, 漸化式 xn+k + a1 xn+k−1 + · · · + ak xn = 0 (n = 1, 2, 3, · · · ) の解 (xn )∞ n=1 全体の空間 S(a1 , . . . , ak ). 2. V , V ′ , V ′′ をベクトル空間, T : V → V ′ と S : V ′ → V ′′ を写像とする. (1) T が線形写像であることの定義を述べよ. (2) 線形写像 T : V → V ′ が同型写像であることの定義を述べよ. (3) T : V → V ′ が同型写像であるとき, 逆写像 T −1 : V ′ → V も同型写像である こと証明せよ. (4) ２つの写像 T : V → V ′ と S : V ′ → V ′′ がともに同型写像ならば, それらの 合成写像 S ◦ T : V → V ′′ も同型写像であることを証明せよ. 3. 次の問いに答えよ. (1) 写像 T : Pn (R) → Rn+1 を an .. n T (an x + · · · + a1 x + a0 ) = . a0 で定めたとき, T は同型写像であることを証明せよ. (2) Mm,n (R) は Rmn と同型になることを証明せよ. (3) S(a1 , . . . , ak ) は Rk と同型になることを証明せよ. 1
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