角 の二等分 (最 終章 ) version5で 、近似解法を公開 しています。 4個 の独 立す る数値 併BA (1/4),Kl(0),K2(0),K3(0)に 対 しそれぞれ に乱数 を発生 させた。 3 次 の項 を 1と す る 「角 の二 等分方程式」 に独特 の解 を代入す ると 2500桁 まで 0が 並ぶ のであった。真 の値 を求める為には、Kl(0) K3(0)を 求 める事だけが残 された問題 である。 ∼ 2次 曲面上 の点で原点か らの距離 を極大 も しくは極小 にす る点 の座標 値 に対 し、 2次 の線形結合 は容易 であるが 、 1次 の線形結 合 は困難 な状態 である。即 ち、イメー ジ的には XA2,YA2, z八 2,YZ,ZX,XYの 線形結合 を分子結合 と考 え、 ま るで プ ラズマ を発生 させたか の様 に X,Y,Zと 分解 して の 1次 の線 形結合 とす るのである。 プ ラズマ発生 の原動力 は線形 1階 連 立微 分 方程式 を解 くこ とである。 2個 の解 で一 方 の平方根 のテ ー ラー 展開 と他方 の平方根 のテ ー ラー展開を比 べれ ば面 白いが 、心配 の 必要は全 くないのである。 クラメル の公式 と行列式 の計算 の性 質、 そ して邪魔 と思 われ る変数 を味方 につ け、 自明 で ない解 を持 つ こ とを理 由に 「行列式 =0」 を数個発 生 させれば、残 された問題 は 解 決す る。多少 の凡 ミス は修正 を続 けるが 、一 応 ここに多数 ある と思われ る角 の二等分 の解決 の 1個 を公開す るものである。 季語な し人生短歌 12首 にて挨拶 上 り坂 人生 の坂 徳)ilか 織 田信長 か 下 り坂 そ してま さかの 人生模様。 三井 三菱 菊ほ栄 えて 葵 は粘れ る。 公 僕は 役職 よりも 頼 もしい 真 心尽 くし 命 を賭 ける。 それな りの 町民には それな りの 役場職員 姿美 し。 人気 より 人望あれば 似 て非な り しがない なが ら 誠 心誠意。 どこまでか 誠貫き 人生 の 戦国の 大名 ビジ ョン 京都 ノーベル。 社会科 と 社会学実施 踏 まれて も ゆく。 善悪 問わず 人権 は 民法 98条 人権 は 百人 に 伸 びて ゆ く 人 を踏 みつ け 87条 だ 郵便法 1に 戦争 2に 公 害 言 つて聞 かせ 動 か じ。 行 つて 見せ て にぎ りめし 関ヶ原 には 七人 の敵。 1個 現金 よ りも 郵便切手。 その他は無 くて 教示 して 更に伸び 7に は差別。 させ て褒 めねば 人は 均等割 り 平等 よりも 外貨獲得。 い じめとは、エ ン トロピー の増大計算解析。 (1)「 い じめど は存在す る。 (2)い じめるほ うが悪 い。 (3)い じめられ る者に責任はない。 (4)い じめに負 けるな。 (5)後 ろ鵜 を措 され るな。 解決法は、組み合わせ (5個 か ら2個 選ぶ)=10通 り。 任意角の二等分は伝統的方法で可能 徳島県美馬市美馬町字城 76-1 小笠 文明 S32301日 10生 RA3-鱒 /0*R+(1/0*SINは ゆ=0-― 一―(1) 中 中 い ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― 一 … ― ― ― ― ― 一 一(11) 8iFree ― や 一 ― 一 ― ― ―(2) 中 中 ― ― ― ― 一 ― ― ― ― 一 一 … … … … …(12) ― ― ― 一 … … … … … 一 ― ― ― … … … XttXEP3*X+Pl半 YⅢ l (13) キ ― ― ― 一 ー ― ― ― ー Y*Y・ P2*Xキ 1/2*Pl*Yキ 1 -中 (14) R=(Rl*X+R2*Y)/(R3*X+R4*Yキ R5) X*Y・ Pl*X+P2*Y ― ― ― 一 ― … … … … … … … … ―(3) … … … … … … … Rl=1/2-(A-6)*B 一 R2=(A-0)*SOR(8*0) 一 ― 一 一 一 一 ― 一 一 ― ― ― ― ― … … … キ キ 中(15) ― ― ー ー ー ー ー 一 一 … … ― ― ― … ― ― ― ― … … … 一 ― ― ― … … … …(16) … … … P2=一 SQR(0/A) ― … … … … … … … … …(17) P3=(A-8-2米 8)/SOR(C*A) ― (4) ― ― 一 ― 一 一 ― ― ― ― ― 一 一 ― ―(5) … R3=A-1 -― ― ― 一 ― ― 一 ― ― 一 ― … … ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― 一(6) R4=SGR(B*C) ― 中 ― ― ― ― ― ― 一 ― ― 一 … … …― ―― ― ― ―― ―(7) … … R5・ SQR(0*A) plこ 2米 SQR(B/A) ― … … ―(8) K/SQR(8) キ ― ― ― 一 ー ー … ー ー ー… … … ―(9) … ー C=3/4-3/2-K/SOR(B) 十 十 _(10 一 … KiSOR(lⅢ SiNは い)/4十 一 一 一 A三 3/4-3/2■ Xへ 3キ 3*(1-A)/SOR(G*A)*Xハ 2 +3*G-1)/A*X― SoRC/舟 (1働 =0-一 も 「 (問 題 1)条 件(3)か ら(11)、 及び(15)か ら(17)に 於いて、(12)と 同様に、(12)と (問 題 ら(18)を 導け。 (中 学校 1年 生 (13)か ら(18)を 導け。 (14)か ) 2)条 件(3)か ら(17)に 於いて、 (1)に 代入すれば、(1)を 満足することを示せ。 ら(14)を 利用すれば((2)を 1)の 左辺〓0*X+0*Y+0と なる。 しかも、任意のAN即 ちK,Kと ￨ま 独立する任意のBに 対して(1)の 左辺=0 (12)か 十 ― と な る こ と を 示 せ 一 一 。 一 一 ― 一 十 一 一 ― 十 ― ― 一 一 一 一 … 一 一 一 一 (中 学 校 8年 生 ) (問 題3)REMl*X+M2*Yキ M3を (2)の 左辺に代入し、(12)か ら(14)を 利用して、欄,M2,M3 ―(高 等学校 1年 生 を定めよ。クラメルの公式を秀 1用 すれば、便和 !で ある。一一― ) 1*X+M2*Yキ M3の (問 題4)R二 鯛 面辺を2乗 し、(12)か ら(14)を 利用して、Rハ 2こ M4*X+柄 5*Y■ M6 4,調 5,納 6を 定めよ。一一一――十一一一――十一 ……(中 学校2年 生 とするとき、胡 ) 5)条 件(11)に 鑑み、R・ 鯛1*Xキ M2*Y4M3と (問 題 RttR輔 4*X+鯛 5米 Y輔 6の 各両辺を TEBハ (1/4) で微分した場合、明らかに、dR/dT=0で あり、d(RA2)/dTEOで ある。 クラメルの公式を利用し、それぞれ ― ― … …(19) dX/dT=All*X+A12*Y+A13-中 ― … … …(20) … … … dY/dT=A21*Xキ A22*Y■ A23 … 十 を導き、All,A12,A13及 び、 A21,A22,A23を 定めよ。 一――(高 等学校2年 生 ) (問 題6)と im Xユ i Litt Y=0を 示せ。今、ここに i・ SOR(-1)と する。 Limは Bを 限りなく0に 近づけたときの極限値とする。 ー￨+Xl*TttX2*TA2+X3*TA3+X4*TA4+X5*Tへ 5+X6*TA6+0(BA(7/4)) … … … ― 一 … … ― ― ― ―(21) … … ― → Y= 0+Yl*T+Y2*T^2+Y3*TA3+Y4米 TA4キ Y5*TA5+Y6*TA6+0(8^(7/4)) ― 一 ― ― ― ― ― ― ― … ―(22) と仮定し、(21),(22)を (19),(20)に 代入し、クラメルの公式を利用し、 Xl,X2,X3,X4,X5,X6及 び、Yl,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6を 求めよ。 その後、(21),(22)を (2)に 代入しLim即 ち、8を 限りなく0に 近づけて 田ピタルの定理を利用すれば、R・ SiN(AN/3)は 、作図可能な数値と有限国の四員 4 十一 ,*,/及 び、平方根号SOR()で 表現されていることを示せ。 即ち、SiN(AN)が 与えられたとき、明らかにKが 作図可能、同様に、 A,0,Rl,R2,R3,R4,R5,船 ,M2,M3,M4】 M5,M6,All,A12,A13,A21,A22,A23,X,Y,R 十一一_中 _― ― ― は悉く作図可能であることを示せ。 一 一――― ―(高 等学校3年 生 Xエ ) 二 次 曲面 AX2+BY2+CZ2+2HlYZ+2H2ZX+2H3X予式 に対し、 1 t=B4 昨 脊 3 B K 卜 丁「 露 稲 Vi+Sin(o) 4 K P2 I三 P3= 3 B丁 ‐ K C=百 稲 A― C-2B H2=打 確菰i H3=JBC Hl=VAB 届 とすれば、 AXttB瑠 +C瑠 +2HlYOZOⅢ 2H2ZOXO・ 2H3XOYO=1 XOYO庄 PlXOZOキ X8EP3XOZOⅢ ' -一 一 一 一 一 一 ― 一(1) 一 一 ― ― ― ― ― ― 一 一 ― ― 一 一 キ ー ー ー ー ー キ ー … ― … … … … … … … 一 ― ― ― … … P2YOZO PlYOZO+Z3 (2) … … … … … … 一 一 ― ― 一 ― ― ― … … 古 一 一 ― 一 ― ― ― … … … … … … … … … -… (3) Y招 PlYOZO■ =P2XOZOⅢ 一 ― 一 ― ― ― ― 一 ― ― 一 一 一 一 一 ― 一 一 ― ― 一 ― ― ― 一 … … … … … ― ∼ ― Z3 -― (4) 屯ヌ ここに、座標 (X。 ,YO,ZO)は 2次 曲面上の点で、原点からの距離 が 極小あるいは極大になる点とする。線形代数・ラグランジェの未定乗数法 ・線形 1階連 立微分方程式都率けば更に、 キX2t2■ =一 こ 32を KlYl-9ウ t告 争 Eと K】 9X2・ 164K ぜ +栃 辞 降 … 請 と 一 Yit一 :埜 登t5+ it3+:堂 13,:::逆 ここに、X2は 券 5… (25G々 汽麗 t7+..... 1024内 汽麗7 ￨!;:;;:;輩 に於 けるt2の 係数。Ylは 135■ 傷貢)Yl■ 216K 券 に於 けるtlの 係数。 次に、 X*Y*=PlX求 十 P2Y* X4=亀 X*十 PlY*+1 Y軽 -2ナ 亀 害 ぱ 急出 =P2X*十 号 PlYネ +1 t6t..… ミ (D∼ 鉛 以外に1効 等式力婆 生すれば、日 ち 田 ン,(孝 X券 ),(券 ン,皓 ンカ 線形結合 皓 できれば、(5)と する。即ち、 MlXOYO十 ▼〈 ン 孝・ =い (屯 ;〒 M2X3+M3Y名 B(t告 ￨)2+C+2Hl(;告 =1 ― 一 >2H2(寄 卜 )Ⅲ =A(P3(;;;)・ Pl(:告 )11)+B(P2(:;;)+';Pェ 卜 +2H3(Pl(lZ声 )キ -1- 残 ￨ ― ― 一 ― 一 ― ― ― ― 一 ― 2H3(孝 X'告 ￨) ― 一 ― 一 ― 一 ― 一 一 ― 一 ― (5) ∴ BL+2戦 Ⅲ2地 り メ=KAP3+Bけ 2Hォ 2H3孔 X号 〉<A乳 号 卒 皓 >い B・ 0 皓 P4=AP3+B駒 Ⅲ2H2・ 2H3Pl (t,;)2=P3(tオ ;)・ P5=APl+毛 BPl+2Hl+2H3Fち チ )+1 Pl(こ :「 P6=A+Bキ C P3 Pl 亀 MlXOYO+M2X3+M3Y8・ 1 -一 丁 P5 /M0 一 一 … … … … ―… 一 一 一 ― 一 …一 一 一一 一 ―十 一 一 ― Yit一 ど と ビ 昨韓 Y0 (5) Q56点 5_135想 )Yl+216K 7 :;1官:Fllt3+ ,・ 告 1/M0 ￨:: 戦 … 静ぱ 紆 Ⅲ ;告1主 M3言 亀 P5 ｉ亀 残Ｐ Pl P4 1 １ M2= P2 丁 Pl ０ 1 P2 亀 ン (孝 ン (券 /M0 亀 (券 )2 =0 P2 １ Pl ｌ 亀 Ｐ 1孝 )(券 ) Pl Ml= P2号 Pl P4 P5 亀 １ ・ .YO=WXO 1024母 汽疋 ― 一 ― 一 一 キ ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー ー … … … ― ― ― ― 一 一 ― (6) (6)基 5)に 代入すれ ば 、 (MlWttM2+M8W2)x8=1 Z0 X0 XO=士 Z0 VMlW4M2キ M3W2 YO=WXO ZO=PixO+P2Y0 士om (2) ここで、平芳根号が発生しましたが、心配ないです。適当にXO,YO,ZOそ れぞれをQ倍すれば、 都合がいいです。X辞発に関しテーラー展開したときの初項の逆数でもいいです。 告ををを (:告 )=(苦 1告 ::‖ :音 !:苦 :) (:告 1号 l)=(岱 :1告 ;:帯 ::音 !:絆::) (8告 :;告 )=(3:1告 :￨:3:;:::3::) (8告 :,i勢 )=(:!1整 ::!:予 i:1魯 :) ‐2- 1 ZO N33 N31 N32 XO 五 軌 3qこ q2 ０ ０ ０ 1餡 .・ 3::￨=0 ZO 文 ZO=蕊 1 ° 「 覇 毛 33 狩競 狩議 ] i 031 032 P13 Pll P12 乾3 P21 P22 :踏 整 隆 ￨ ド 北 乾ト 脇靴静 →J監 乾卜 =議 1 ZO QX2Yl P33 P31 P32 ￨:! 1 T6=￨ミ 1 T10XO+TllYO十 T12ZO=6x2ヤ ￨;l ミ t;号 1/D2 D2=￨ミ ￨:: 陸監鍋 ￨:号 ￨::1/D2 1/D2 T5= ￨ミ ￨:t 器 !:I T7=18:t 8〔 号 1/D3 18 ￨:そ TI -3- ０ ０ ０ T8吾 一 乳 号1/D4 : ０ ０ ０ 1 ! ￨!:I T4=￨ミ Ｎ Ｎ Ｎ ssこ手 D4 Tll工 022 Dl=￨￨￨:: 、 ￨ :を 号￨イ 封=哉 十 肌 鴫 =脇 椎ヤ 靴 昭触ナ階 批ヤ ミ ‖↓ そミ ,TlXO十 T2Y。 +T3‰ =石 T7XO十 T8YO+T9ZO=百 °21 畿 10 T10=￨:を ∴ ド 校鞄ト 博 脇靴ト 18:1 8;;IZ0 023 YO 縄:酪 整 T4XO+T5YO+孔 Ｎ Ｎ Ｎ 綜 面 1餡盤 ＮＮＮ _0 +1鮮!￨ :;￨ ｈ N28 N21 N22 ︲ Ｙ ︲ ︲ ｌ ３ ︲ 一Ｑ Ｎ Ｎ 2 YO ０ 〓 Ｎ Ｎ Ｎ Ｎ Ｎ Ｎ 1簿 艦 代 戦3駈 ｀ 面 ｌＨ刊︱ ド ． 狩 綜 ２ ３ 卜膨ト 晩Ｎ ZO 告 M33 M31 M32 ︲３ ︲ ２ 航諌晩Ｍ Ｍ ;￨ 静聯 : M23 M21 M22 =0 +1難 告 ３ ３ ３ YO一 批 M12 3嶋 戦 告 Ｍ Ｍ Ｍ Ｍ Ｍ 狩 ２ ３ ｌ ２ Ｍ Ｍ Ｍ Ｍ ∴ 鋼 縫 ‖ 卜 X2,Ylは 自現でない解 を持つ為、 T2YctT3待 抑 告 T4XO十 T5YO+T6ZO=貫 =畿 十 =Qx2Yl (3) 野▼丁 T7XOキ T8YO十 T9ZO=哉 右辺 主 議 ―一 =寛 (9) 覇営;了丁 T10XO+TilYO+! -0 =0 キ +論 輔 付 √ 聯 議 =崩 判の ∴ 綜玲 X0 <Tガ 綜警捨聯h 十(T3 五 と R3_ど Rキ liSinα こ O α " ポ1+Sin α Fぶin百‐ K- 4 - t=功 再 _17 0年 h一 f告 C-2B 1 2A― 警 五;骨 Fh0 十 :亀 捨 応 A=3十 B_一 +K 恥 T12 i告 :「 1 t=B4 Tォ K3(0)=T3 綜 T9+子 = P2= ￨;言 1 綜 KXの 年1ち ―… [[:::::i::x2+3号 Pl=脊 FT12)ZO=0 rErI‐ 付 判 骨 T9+;7衰 3 B K 4 2 対 官 C=T 丁 肩 雅静端 堪 幸 綜 L一 漸化式 に於 ける初期 値 の確 定。 4メ端 尚、参考 の為 、 ;;争 =一 十 を 32,XPYl-9,VK X2t2キ t4.ど 32揮 ど 8 七 号:;::11lt6十 (768K2_243)X2 288こ K 号 号型 :=Ylt一 (25蘇 5_13軌 海こ )Yl+216K lt3+ :型 10+....... 2048K4 t5_ト 102癖 ],:ま (921捕 -288蘇 )Yl-8192K3+4320K 3276頑 +捨 挽 ∴ 臨 0=Tf綜 恥 KXの =L端 聯 恥 捨 0 K3(0)=T3 綜 T9+;i;:「 T12 漸化式 に於 ける初期 値 の確 定。 -4- t7 t9+…・・ … Ⅲ 丹ll角 客 X2Yl 1 上 ︲ 一ｘ２ X2 ︲ Ｙ Yl X2マ Xを Yl マ X2ぱ X2マ X2Y? X2YI Xな W X2Yl Yl Xな W 埴輩 X2Yl 1 X2Yl X2Yl 1 X2 X2W X2W l Yl X2Yl Xを 2t 言 蘇 可用する。 マ X2Yl Xを マ 1 1 X2マ X2W 1 X2 X舞 ? X3W l Yl X3マ X3W l l Xヨ Y? X3W 1 X2 X,W Xを 晋 l Yl 耗W Xを W l 軽輩 1 鳩W l Yl 理W ttW 精W X2Yl l X舞 ? l XttY母 3t X2L=丁 Yl― X,W l X3W -5- 一〇 〇 ０ 一 W 牧2端 汁 ― ここで は ２ 親Ｘ 一 Xと 凝=写 L一 瓦 手 ,言言 ヤ 官 言 緯 X2 １ X2Yl Xを X2当 =綜 L― X2Yl +X2t2+ こ 【 32tK2Yl-9頼 9X2Ⅲ 161K t6+ 576】 2Yl■ 768癒-243,ぜ 写丁 t8 t4キ 32点 1告 ;=一 2048振 5 9 (768K2_243)X2 288,K t10+o(t10) 2048K4 鵡 =Ylt 1-8K t5キ t3Ⅲ 十 券 )Yl+216K (25蘇 5_13軌 淳こ t7 102炉 (921捕 -288離 )Yl-8192【 3+4320K ∴ 訂 孝ム lX2キ W2YltW3キ ;= W4Y二 t::= り 十 W5+0(t10) 1+Oげ '告 .・ 0ば 3276捕 め `XO=ZOW01X2・ Z6W02Yl■ ZOW03+0(t9) YO= ZOW04Yl+ZOW05キ ZO= .・ Z0 .Xを YiXOiZoW15X2キ OQ9) .・ .X2YlXfZOWo6X2tZOW07Yl+ZOW08+。 (ぜ ) X2YlYO=ZOW09X2+ZOW10Yl■ +o(t9) ZOWllキ o(t9) X2YlZO=ZOW12X2・ ZOW18Yl十 ZOW14+0(ぜ ) ZOW16Yl+ZOW17+。 (t9) ,・ .Xを Y?XOま ZOW24X2+ZOW25Yl+ZOW26tOt9) ZOW19Yl■ ZOW20キ 0(t9) Xを 粒?YO=ZOW27X2・ ZOW28Yl+ZOW2940(t9) X2YIZO=ZOW21X2・ ZOW22Yl■ ZOW23+Ot9) Xを ■?ZO=ZOW30X2+ZOW31Yl+ZOW32+。 (t9) Xを YlYO=ZOW18X2・ X2,Ylは 自明でない解を持つ為、 9地 貯詠晩挽 竹器比 4路 2比 為縁 地 7地 5比 YO― t9+G位 10) W20 縁 +随 ば 枇 鞄卜 随靴卜 瑠‰ 灘 :離 =こ 0 =o(t9) 3 f;学 ￨￨￨1告 ,'tViXO対 2YO十 V3ZO=二 6 V19 =o(t9) WV18 ｀ r・ IRを +0(t9) ば ・股批降 f粒 卜 階鞄卜 W23 W21 W22 ZO 貢言電「 名 :￨+0(t9) =石 「を 幣。 (t9) f:伊 詠 ￨‖ : ￨を i tV5YO鞠 =器 的 0 れ為 -6- !:￨十 XO i琢 W26 W24 W23 YO W29 詠 W32 ZO ２ Ｗ 晩 再 +降 ぽ 階 権 卜 枇 陥 卜 強ヤ =詠 十 を耕 0 W28 =o(t9) ￨1格 : W31 詠 ・ ・・V7XO十 V8Y01挽 ZO=i悪 : :il+0(t9) +G(t9) 巧 ギ 0 札為 2httf器 的 V4XOキ V5YO+V6ZO=詠 キ0(t9) .・ ,VlXOtV2YOtV3ZO■ (X2Yl)キ o(t9)十 一 ― 一 α 覇 再 )+o(t9)∼ ―ヤーーーーーβ V4XO+V5YO+V6ZOE51;字 〈 Yl 言 V7XOキ V8YO+V9ZO=モ °(t9) :雰 字:キ X2L=器 L 捨 ( 革宮 堪 言綜 ;ヤ L一 (t9)一 ―――――一- V7XO+V8YOキ V9ZO=薪 α一((五 )β ― 再 捨 W 牧 2れ面 l端 晩+捨 V,XtttV2 こ こ では 器 L+捨 V8jY04晩 ― 晩 綜 ・ ∴ 配 0=Lと L+i骨 綜 :V7 K2(0)=V2 五 路キ訂V8 〒 K3(0)=V3 五 V6+〒 吉晩 -7- 7 )+° γ)か ら、右辺 喜0 X 坤 1 捨 村fttL百 品 急 。 alj用 V♪ え=式 め
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