赤阪 正純 (htt● グ nupri web fc2 com)
連 立漸 化 式 の 秘密
連 立漸化 式 の ヒ ミツ
一 般 的 な連 立漸 化式
{絆 ￨三
こさツ
超賢 υ
珍 注 組 み 合 わせ てで きる等 比数 列 の 公比 た は
解1身 IS
ヵ=p― γ
`=´
_(p一 s)± vπ = (p+s)士 √Dl
の 2つ の解法 について まとめてみよう
1
Pointく (ま とめ
泣
連
れ式惚IttIれ 』
加減 法 的解 法 の ヒ ミツ
2つ の漸 化 式 を どの よ うに組 み合わせ れ ば よ いの
"化
に
お
い
て =イ弁
をQβ と
す
解
キ
子の
か検証 しよう
,′
漸化式 ① と ② をうまく組み合わせて
απ
+1
α わη+1=力 (α η一 αbη )
ると,数 列{α η―αι
―βι
η
},{α η
η
}は 等比数
燿偲
■,に 変形
という式 に変形 で きプ
ことイ
反定 します _♂
列 になる
"τ
つまり,① ―② ×α,① ―② ×β とい うよう
｀
に式の辺々を組み合わせればよい
ミが
,「IL鷺 1:
αη
+1-α ら+1=夕 α″十 g場 ― α(グ α″+Sbη )
=(p一
“
″注
γα)α ″― (sα -9)ク η
α)(ら 一
= (′ ― ″
:子
な ん とな く気 づ いて い る人 もい るか も しれ
αηtt gの
ませ んが ,分 数 型漸 化 式 αη+1=′
時の
L三 ♯券う
→
話 に似 てい ませ んか
=λ (α η― α賜 )
したがって,力
=p― ″α,
ねばな りません
=ゝ
α
α=Sα
に
gと
置 き換 えた式
`と
あの ときは,α が 1と ら を共
+gを
`=pι
の
数 を求 めたので す が ,今 回
なら
解 いて ズ ラス
組 み 合 わせ 方 を調 べ る
ため の ′の 方程 式 と完 全 に一 致 して い ます
このとき
な にか
,
が あ りそ うで すね
路
_9
⇔
_″ α2=sα
ρα
⇔
α(″ α+s)=ρ α+9
⇔
α
…
α
2
=癬
ttrに
代 入法 的解 法 の ヒ ミツ
代入法的解法では 3項 間vTl化 式を解 くことにな り
つ
ま
お
り
立
連
漸
化
式λ
″に
ます.特 性方程 式の解 と加減法的解法での式の組み
,
{:￨:￨三
に
′の 方程 式 ′=無
て
さ
,′
ょって,′
=イ争
￨:よ
`2_(p_s)′
蝶
合わせ 方 に何 らかの関係 があるのではないか検証 し
11争
よう
が α にな ります
漸化式 ① より,9う η=α π
+1-pの
pα η
+l
漸化式 ② より,c場 +1=9γ αη+S9ι ηなので
,
… (※ )
これに代入すると
,
この ′についての 2次 方程式 (※ )の 判別式を
とする と
'1
απ
+2
,
Dl=(p―
,
+2
9場 +1=α η
2+ダ =ノ +α
先灯
-9=0
よつて
s)2+49γ
pα η+1=σ γαη+S(α η+1-pα π)
偽+2 (p tt s)α η
+1+(ps一
Dlキ 0な らば,2つ の解 を持 つので式 の組合 せ
方が 2通 りで きますが,Dl=0な らば,式 の組合
=0
cγ )α π
よって,特 性方程式は
せ
は
1通 り
し
か
ま
せ
ん 繊
方
あ
り
ク 望
力罐ド イ勲 湧∂●各
'
ご 俗
∼離bソ巣勇ち
`2_(p+s)′
+(ps-9γ )=0 (※
※)
inupn
赤阪 正 純 (httpン ク
この
ると
`の
2次 方程 式
web fc2.com)
(※ ※ )の 判 別 式 を
D2と
連立漸化式の秘密
す
2
例題
D2=(p+s)2_4(ps一
次 の漸化式を解 け
けい僚三
靭
比《
,
gγ )
=p2+2ps+92_4ps+49γ
+ι η
―場}の 一般項を求めよ
(1){α π
},{3α η
(2)(1)の 結果を用いて,{α η
},{♭ η
}の 一般
項を求めよ
ぢ=ζ
3
ま とめ と検 証
1=0.
`=-1,:
`=-1の
′=:の
まず,2つ の 2次 方程式 (※ )と (※ ※)の 判別式
羊 1311式 が
とき,た
とき,た
=5
=1
したが って ,も との連 立漸 化 式 は次 の よ うに変形
ゴはなく,崎 のた
Dl='2
り,3′ 2+2オ ー
つ ま り式の組 合 せ 方 は 2通 りあ って ,公 比 た は
2つ の解法を検証 してみよう
が一致しています
舞::よ
nじ ト ン んて Fr
で きます
このことは,2つ の 2次 方程式 (※ )と (※ ※)の 解
の個数 が一致する ことを意味 しています
:IFiZl[￨)π
IZI1lζ
加減法的解法で式の組み合 わせ 方 が 1通 りなの
か 2通 りなのかは,代 入法的解法で 3項 間漸化
誘導では{3α 2-bη )と なっていましたが,2つ 目
の
の
は…
式
こ
両
辺3倍 す
れ
ば
と
同
じ
で
すε
ト
フ
,誘
式の特性 方程 式が重解 をもつの か 異な る 2つ
の解 をもつのか と完全 に対応 していることが分
てう
っ
フ秋り
J、 れ
弘7'ケ″∼
た の で した
うちの
また,特 性方程式 (※ ※)の 解 と代入法的解法で
酔
“
稚 にの公比 々が完全 に一致 していることも分 か ります
以上 のことを前回紹介 した 3つ の 例 題 で確認
＞
つ ま り式 の 組 合 せ 方 は
2通
を
=・
り
卜考
≒
≒
井よげ
妨
αl=1,ι l=3,
賜
次 の漸
計 捜
九 ％ ％
一
〓
鰤 一
1
化 ｆ リ ｌｔ
例題
耗如端
してみよう
=2α ″― ♭″
=α η+4ι η
求めよ
{α
η
},{ι η
} の一 般
…①
り,′ 2+2`+1=0(′
…②
告llよ
`=考
より
解)
`=-1(重
つ ま り式の
=」
∴′
+1)2=1
組 合せ 方 は 1通 りしか な く,公 比 た は
た =3
り (足 した り引 い た
したが って ,も との 連 立漸 化 式 は次 の よ う
に変形 で きます
り)あ って ,公 比 々 は
′=1の と き,た
け
惚①勅
αl=2,
Ｏ Ｃ 項
じ`ク
つτヒ
しヽ
:司
1 伊1題 3
導 の よ うな組 合 せ が登 場 し
臨
い
撃
［
簑
﹄
勁［”
嫌
よ
かる
この よ うな理 由 で
=1
=3
.
の+1+ら +1=3(α η+ι η)
′=-1の とき,た
したが って ,も との連 立 漸 化 式 は次 の よ うに変形
このような理由で,1通 りの組合せ方しか誘導され
できます
ておらず,代 入法での 3項 間漸化式の特性方程式も
重解 にな ったわ けで す
:;;
ca得
″ヽ
{%￨1軍 :11:::￨::軍
争卜 さ
ぃ ￨!
い
ざ
ιStソ が わかЙ′
、
み0し 、
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