H問題 15 ooll.1.20.) 数学演習 1.3重積分の変数変換の公式の導出 (1)連続微分可能な変数変換 χ=∫ (S,ι ,Z), ν=θ (S,t,し ), ,Z)空間の点の回りの微小図形乙yとによって (χ ,ν (χ 。,ν ) o,Zo)=(ノ (So,to,aO),θ (So,ι o,aO),ん (So,ι o,aO)) (s,t,包 )空間の点 (sO,ι o,2o)のが対応する。これらの体積の比率 [ヒ z=ん (S,t,し絵論回りの微小図形ム″ を近似的に求めよ。ント与えられた変数変換を (sO,ι o,鶴 o)の回りで線形変換によって近似せよ .￨ (2)連続微分可能な変数変換 "=ノ (S,t,a),ν =θ (S,t,鶴 ),z=ん (S,t,包 ) について 3重積分の変数変換の公式は胤地 %枷ャル =肌 Цれらズ中 a,Ц 鋭酬れ州お洸れである.ここで yと ″ は変数変換で対応する (",ν ,Z)空間と (s,t,Z)空間の空間の領域であり,J(s,t,包 )はヤコビアンである.この公式中のヤコビアンの具体形を書け.また,この公式を証明せよ . 2.3重積分の円柱座標変換与えられた 3重積分を円柱座標変換を使って計算せよ.(3)∼ (5) 0胤勘配に 2,z≧ y={(″ ,ν ,Z):χ 2+ν 2+z2≦ α 容易胤席 f"は Tに『非券 0} ￨る 2,"2+ν 2≦ α y={(2,ν ,Z):χ 2+ν 2+z2≦ α χ,z≧ 0} 0胤勘測Ⅲ 2+ν 2≦ z≦ α y={(π ,ν ,z):0≦ χ 2} 2.3重積分の極座標変換与えられた 3重積分を極座標変換を使って計算せよ。 (6)∼ (12).(11)(12)については,変数変換後の累次積分は最初に θで積分する . 「寸して (6)兵超勢でα>0 にヌ窺りαろ￨￨lvzα 2+ν 21+z2≦ γ={(",ν ,Z):χ (7)定数 α>0に対して 2,ν α ≧0,Z≧ 0} aidν α z, ￨￨lv′ 7={(π ,ν ,Z):"2+ν 2+z2≦ α2} >0 に対して郵てα (8)兵ヒ II算膨山カル , y={(χ ,ν ,Z):χ 2+ν 2+z2≦ α2,"≧ 0,z≧ 寸して (9)定数 α>0)こメ￨￨lv"Z:α"α ναZ, 2,"≧ y={(κ ,ν ,Z):"2+ν 2+z2≦ α (10)兵ヒ剪tα >0に対して￨￨。(:η 0} 劾ぬル 0} , 2,χ y={(χ ,ν ,Z):π 2+ν 2+z2≦ α ≧0,ν ≧0,z≧ 0} 対して ←⇒定数0<α <‖ こ胤フ耳弓争響移讐両ン 2} y={(χ ,ν ,z):χ 2+ν 2+z2≦ α して対 0融 0<α <‖ こ胤 2} D={(χ ,ν ,Z):χ 2+ν 2+z2≦ α 5.立体図形の重心 (13)α >0,た 0,"2+ν 2≦ (13)∼ (16). >0を定数とするとき (",ν )∈ D={(2,ν ):κ ≧0,ν ≧ 2}の範囲で α ,曲面z=た χ νとz=o(つまり(",ν )平面)に囲 yのまれる部分重心を求めよと (14)半球円錐の共通部分 .定数た≧ 0に対して円錐 z=た ν′ χ2+ν 2 =0のときは (",ν )平面)と半径 α>0の上半球面 z=7α 2_.2_ν 2で囲まれた領域 yの重心を求めよ y={し ,ぃ :″ 2+ . (たるときのち第 ν 昇1濶λ』』 ∫ 蠍ξ ケ=← g了 ′ 91 2ro2_072+ 暑鶏鐸‰鞣議 {電『 :0≦ Z≦ ∫ た IR線・ κ ギft,Iξ 鵞翼λ 劣曽熙 . 213堪 _す '° 数学演習 H問題 15 追加問題 (17)次の 3重積分を極座標変換を用いて計算せよ . 胤型篭絆2+ν堕 , 2+z2≦ 7={(χ ,ν ,Z);Z≧ 0,1≦ ″ 4} (18)定数 α>0に対して次の3重積分を極座標変換を用いて計算せよ . Z:d“ αναZ, 胤 y={(χ ,ν ,z):″ 2+ν 2+z2≦ α2,″ 0} ≧ (19)定熱 α>0に対して次の3重積分を極座標変換を用いて計算せよ . ノ 1(ア ) /″ 2+ν 2α π α α ν z, 2,″ 7={(π ,ν ,Z):・ 2+ν 2+z2≦ α ≧0,ν ≧0,z≧ 0}