確率統計学
解答例
2014.04.22
■ µ，σ （σ > 0）を実数とし，
f (x) = √
(x−µ)2
1
e− 2 σ 2
2πσ
とおく．有界な連続関数 g(x) に対して
∫
+∞
f (x) g(x) dx = g(µ)
lim
σ→+0
−∞
を示せ．
（解） ルベーグの収束定理*1 を用いる．変数変換 x = µ + σ y により
∫
∫
+∞
f (x) g(x) dx =
−∞
R
y2
1
√
e− 2 g(µ + σ y) dy
2π
となる．g(x) は有界であるから，ある定数 M > 0 が存在して，すべての y に対して
2
1
y2
1
− y2
√
g(µ + σ y) ≤ √
e− 2 M
2π e
2π
∫
が成り立ち，
e−
y2
2
dy =
√
2 π であることに注意すると
R
∫
R
y2
1
√
e− 2 M dy = M < +∞
2π
である．また，g(x) は連続であるから，各 y に対して
{
lim
σ→+0
y2
1
√
e− 2 g(µ + σ y)
2π
}
y2
1
=√
e− 2 g(µ)
2π
が成り立つ．したがって，
∫
∫
y2
1
√
f (x) g(x) dx = lim
lim
e− 2 g(µ + σ y) dy
σ→+0 R
σ→+0 R
2π
{
}
∫
∫
2
y
y2
1
1
− 2
√
e
e− 2 g(µ) dy = g(µ)
=
lim √
g(µ + σ y) dy =
2π
2π
R σ→+0
R
となる．
*1
(X, B, µ) を測度空間とする．可測集合 E 上の可測関数 f1 ，f2 ，f3 ，· · · が与えられているとする．(i) | fn (x) | ≤ g(x) （n = 1，
2，· · · ）となる可積分関数 g が存在し，(ii) ほとんどいたるところ limn→+∞ fn (x) = f (x) が成り立つならば
Z
Z
lim
fn dµ =
f dµ
n→∞
E
E
が成り立つ．
1
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