2014 年度基礎数理 D レポート問題 1 （担当：日野）以下の問題を解き，レポートとして提出しなさい．レポート用紙は A4 サイズのものを使うこと．締切：11 月 17 日（月）午後 5 時，提出先：数理科学コース事務室 (J613) 前レポートボックス [1-1] 実数 x に対して，次の極限を求めよ． ⇣ ⌘ lim lim (cos m!⇡x)2n m!1 n!1 （ただし m, n は自然数を動く極限とする）（注：「『連続関数列の各点収束極限』からなる関数列の各点収束極限」程度の極限操作でもこのような関数が現れるという有名な例．） [1-2] 次の de Morgan の法則を証明せよ: ⇤ を添字集合, Ek (k 2 ⇤) を集合 X の部分集合とするとき， !c !c [ \ \ [ Ek = Ekc , Ek = Ekc . k2⇤ k2⇤ k2⇤ k2⇤ [1-3] {En }1 n=1 を集合 X の部分集合列とするとき，以下を示せ． (1) lim En = {x 2 X | 無限個の n に対して x 2 En }, n!1 (2) lim En = {x 2 X | 有限個を除く n に対して x 2 En }, n!1 ⇣ ⌘c (3) lim En = lim Enc . n!1 n!1 (4) lim 1En (x) = 1E (x). 但しここで E = lim En , 集合 B に対して 1B は B の定義関数（指 n!1 n!1 示関数）を表わす． [1-4] Rd の部分集合族 O = {Rd の開集合全体} F = {Rd の閉集合全体} K = {Rd のコンパクト集合全体} I = {(a1 , b1 ) ⇥ · · · ⇥ (ad , bd ) ⇢ Rd | 1  ai  bi  1, i = 1, . . . , d} J = {(a1 , b1 ] ⇥ · · · ⇥ (ad , bd ] ⇢ Rd | 1  ai  bi  1, i = 1, . . . , d} に対し， (O) = (F) = (K ) = (I) = (J) を示せ．ただし，J の定義において，(a, 1] とは区間 (a, 1) のことと解釈する．（Hint: (O) ⇢ (F) と (J) ⇢ (I) は講義で示したので認めて使ってよい． (O) ⇢ (I) の証明がポイントで，「O の任意の元は I の元の高々可算個の和集合として表せる」ことを示して用いるとよい．分からなければ適当な Lebesgue 積分の本を参考にすること．） [1-5] 次の条件をみたす (X, F) の例を１つ挙げよ: F は集合 X 上の有限加法族だが加法族ではない．（他の人が本質的に同じ例を挙げていなければボーナス点追加．）以上 1