OU秋期講座（図形の面積を測る．ルベーグ外測度）10月18日

ＯＵ秋期講座（図形の面積を測る．ルベーグ外測度）１０月１８日
問題 1.
]
∞
∪
1
1
とするとき，
In を求めよ．
1. In = −2 + , 2 −
n
n
n=1
[
∞
∩
2. Jn = [n, ∞) とするとき，
Jn を求めよ．
n=1
問題 2. 次の問いに答えよ．
(1) [0, 1] を開区間の可算個の共通部分で表せ．
(2) (0, 1) を閉区間の可算個の合併で表せ．
(3) {0} を開区間の可算個の共通部分で表せ．
(4) {0} を閉区間の可算個の共通部分で表せ．
(5) R を有界な閉区間の可算個の合併で表せ．
問題 3. 次の集合
∞ (
∪ ∩
(1) A1 =
q−
q∈Q k=1
1
1
,q +
k
k
)
,
(2) A2 =
)
∞ ∪ (
∩
1
1
q − ,q +
k
k
k=1 q∈Q
を簡略に記述せよ．
問題 4. 自然数 n に対して，
]
[
1
,
An = 0,
n
(
Bn =
0,
]
1
,
n
(
Cn =
)
1
− ,n
n
と定める．このとき，
∞
∪
(1) D1 =
(4) D4 =
An ,
n=1
∞
∩
Bn ,
(2)
(5)
D2 =
D5 =
n=1
∞
∩
An ,
n=1
∞
∪
n=1
Cn ,
(3) D3 =
(6)
D6 =
∞
∪
n=1
∞
∩
Bn ,
Cn
n=1
をそれぞれ求めよ．
問題 5. −∞ < a < b < ∞ に対して，[a, b], (a, b), (a, b], [a, b) の外測度を求めよ．少なくとも
[a, b] の外測度は直感に頼ってよい．
問題 6.
(1) 1 点測度 {a} の外測度を求めよ．
(2) N の外測度を求めよ．
(3) Q = {q1 , q2 , . . . , qk , . . .} と表されることに留意して，Q の外測度を求めよ．
1
問題 7. 24 枚の正方形パネルを図１のように並べて図形 E を作る．2 枚のパネルを図２のように
連結させることで図形 F を作る．図形 F の複製を十分多く作り，
（2 重以上の）重なりがあって
もよいので，図形 E を上から覆うことを考える．ただし，パネルを置くときはパネルをそろえて
おくことにする．
1. 13 枚の F で E を覆え．
2. 最小枚数は何枚か？
[図１]
[図２]
2
問題 1. 視覚的に理解できることが望ましい．
∞
∞
∪
∪
(1)
In = (−2, 2), (2)
Jn = ∅
n=1
n=1
問題 2. 解答例を与える．そのほかの表示方法もあることに注意せよ．
)
]
]
∞ (
∞ [
∞ [
∩
∪
∪
1
1
1
1
1
1
− ,1 +
, (2) (0, 1) =
,1 −
=
,1 −
,
(1) [0, 1] =
n
n
n
n
n+1
n+1
n=1
n=1
n=1
)
]
∞ (
∞ [
∞
∩
∩
∪
1 1
1 1
(3) {0} =
− ,
, (4) {0} =
− ,
, (5) R =
[−n, n]
n n
n n
n=1
n=1
n=1
【注意】自分が答えるときは，これとはあえて違う解答をできるようにしておくと練習になるで
あろう．
問題 3. (1)
∞ (
∪ ∩
q∈Q k=1
1
1
q − ,q +
k
k
)
= Q,
(2)
∞ ∪ (
∩
k=1 q∈Q
問題 4. (1)
D1 = [0, 1], (2) D2 = {0},
D5 = (−1, ∞), (6) D6 = [0, 1)
(3)
1
1
q − ,q +
k
k
D3 = (0, 1],
)
=R
(4)
D4 = ∅,
(5)
問題 5. [a, b] の外測度は b − a ということを認めると，残りの区間は [a, b] に含まれるので最低限
b − a 以下である．しかし，どの区間も [a + (b − a)/(2j), b − (b − a)/(2j)] を含んでいるから
Γ((a, b]), Γ([a, b)), Γ((a, b)) ≥ b − a −
b−a
j
(j = 1, 2, . . .)
が成り立つ．したがって，
(
)
b−a
b − a ≥ Γ((a, b]) = lim Γ((a, b]) ≥ lim b − a −
= b − a,
j→∞
j→∞
j
)
(
b−a
= b − a,
b − a ≥ Γ([a, b)) = lim Γ([a, b)) ≥ lim b − a −
j→∞
j→∞
j
(
)
b−a
b − a ≥ Γ((a, b)) = lim Γ((a, b)) ≥ lim b − a −
= b − a,
j→∞
j→∞
j
が得られる．以上より，Γ((a, b]) = Γ([a, b)) = Γ((a, b)) = b − a となる．
問題 6.
1. {a} ⊂ (a − j −1 , a + j −1 ) だから，Γ({a}) ≤ 2j −1 である．ゆえに，Γ({a}) = lim Γ({a}) ≤
lim 2j −1 = 0 となる．つまり，Γ({a}) = 0 である．
j→∞
2. (1) より，0 ≤ Γ(N) ≤
∞
∑
Γ({j}) = 0 となる．つまり，Γ(N) = 0 である．
j=1
3. (1) より，0 ≤ Γ(Q) ≤
∞
∑
Γ({qj }) = 0 となる．つまり，Γ(Q) = 0 である．
j=1
3
j→∞
問題 7.
1. 省略
2. 13 枚必要である．図１，２の一部に色を塗る．
[図１]
[図２]
図１の色塗りの部分が１３箇所あるために１２枚では覆うことはできない．
4

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