数学解析 問 2
年
組
番
(2014 年 4 月 28 日出題、裏面使用可)
氏名
(担当 桂田)
(1) A ∈ R が、(∀ε > 0) |A| < ε を満たすならば、A = 0 であることを示せ。
(2) 「3 つの数列 {an }n∈N , {bn }n∈N , {cn }n∈N について、an ≤ bn ≤ cn (n ∈ N) が成り立ち、あ
る実数 b について lim an = lim cn = b であるならば、 lim bn = b が成り立つ」を示せ。
n→∞
n→∞
n→∞
解答
(1) もし A ̸= 0 とすると、|A| > 0 である。そこで ε として |A| を取ると、|A| < ε = |A| が
導かれる。|A| < |A| は矛盾である。ゆえに A = 0 である。
(2) (いわゆるはさみ撃ちの原理の証明である。仮定が意味することを図示できれば証明は難
しくない。) ε を任意の正数とする。 lim an = b より
n→∞
(∃N1 ∈ N)(∀n ∈ N : n ≥ N1 ) |an − b| < ε.
このような n に対して、−ε < an − b < ε より、特に b − ε < an が成り立つ。
lim cn = b より
n→∞
(∃N2 ∈ N)(∀n ∈ N : n ≥ N2 ) |cn − b| < ε.
このような n に対して、−ε < cn − b < ε より、特に cn < b + ε が成り立つ 1 。
N := max{N1 , N2 } とおくと、N ∈ N であり、n ≥ N を満たす任意の n ∈ N に対し
て、b − ε < an かつ cn < b + ε が成り立つ 2 。仮定より an ≤ bn ≤ cn であるから、
b − ε < bn < b + ε. すなわち |bn − b| < ε. ゆえに lim bn = b.
n→∞
1
2
左側の不等式の両辺に b を加える。
右側の不等式の両辺に b を加える。
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