¶ ³ 問次の線形写像 T に対し， (1) T の退化次数と Ker(T ) の一組の基を求めよ． (2) T の階数と Im(T ) の一組の基を求めよ．   1 −1 1 0 2   T : R5 → R3 , T =  3 1 −1 4 −2 x −1 −3 3 −4 6 µ ´ 解答 (1) Ker(T) = {x ∈ R5 |T (x) = 0} であるから，   1 −1 1 0 2   A =  3 1 −1 4 −2 −1 −3 3 −4 6 とおくと，Ker(T ) は Ax = 0 の解空間に他ならない．A を簡約化すると，  1   3 −1  1  →  0 0  1  →  0 0  1  →  0 0 −1 1 −3 −1 4 −4 −1 1 −4 0 1 0  1 0 2  第 1 行の (−3) 倍，1 倍をそれぞれ −1 4 −2 第 2 行，第 3 行に加える 3 −4 6  1 0 2  −4 4 −8 第 2 行を (1/4) 倍する 4 −4 8  1 0 2  第 2 行の 1 倍，4 倍をそれぞれ −1 1 −2 第 1 行，第 3 行に加える 4 −4 8  0 1 0  −1 1 −2 0 0 0 となる．null(T) = dim(Ker(T)) であるから，これを解くと，       0 −1 0       1 −1 2            null(T ) = 3 で Ker(T ) の基として  1 ,  0 , 0 がとれる．       0  1 0 0 0 1 (2) Im(T ) = {T (x)|x ∈ R5 } であるから，Im(T ) は A の列ベクトルで生成される R3 の部分空間である．よって，rank(T )(= Im(T ) の次元) は A の列ベクトルの 1 次独立な最大個数であり，1 次独立な最大個数を与える A の列ベクトルの組は，Im(T ) の 1 組の基である．A の簡約化 B を見れば分かるように A の列ベクトルのうち第 1 列と第 2 列は 1 次独立で，A の他の列ベクトルはこの 2 つの列ベクトルの 1 次結合でかける．よって，    −1 1    rank(T ) = 2 であり，Im(T ) の基として  3  1 が取れる． −3 −1