代数学XC（本郷）レポート問題2

代数学 XC（本郷）レポート問題 2
高木俊輔（東大数理）
[email protected]
以下の問題では，有限群 G の指標といえば，G の複素数体 C 上の有限次元表現の
指標を意味する．問題 1∼3 の中から 1 問以上，問題 4∼8 の中から 2 問以上選び，解
答をレポートにして提出せよ．
問題 1. G を有限群とし，k を体とする．
(1) G の k 上の既約表現は有限次元であることを示せ（k は代数閉体とは限ら
ないことに注意せよ）．
(2) k = C とする．G の k 上の既約表現がすべて 1 次元ならば，G はアーベル
群であることを示せ．
問題 2. 有限群 G の共役類の個数を r とする．C[G] の両側イデアルの個数を求
めよ．
問題 3. k を体とし，G を有限群とする．
(1) V = k を G の k 上の自明な表現，W = k[G] を正則表現としたとき，G 準
同型 f : V → W をすべて求めよ．
(2) k = Z/2Z を位数 2 の有限体とし，G を位数 2 の巡回群とする．このとき，
G の k 上の正則表現 W = k[G] は既約表現ではないが，部分表現の直和で
表せないことを示せ（つまり，この場合マシュケの定理は成り立たない）．
問題 4. N を有限群 G の正規部分群とし，π : G → G/N を自然な準同型とする．
(1) ρ : G/N → GL(V ) が G/N の C 上の既約表現ならば，ρ ◦ π : G → GL(V )
は G の C 上の既約表現であることを示せ．
(2) ρ1 , . . . , ρr を G/N の C 上の既約表現の同値類の完全代表系とする．このとき
r
∩
N=
ker(ρi ◦ π)
i=1
が成り立つことを示せ．
問題 5. G を有限群とする．
(1) ρ : G → GL(V ) を G の C 上の有限次元表現とし，χ : G → C をその指標
とする．このとき
ker ρ = ker χ := {g ∈ G | χ(g) = χ(e)}
が成り立つことを示せ．
(2) χ1 , . . . , χr を G のすべての既約指標とし，N を G の部分集合とするとき，
次の 2 条件は同値であることを示せ（ヒント：問題 4 を使う）
．
(a) N は G の正規部分群である．
∩
(b) 有限個の整数 1 ≤ i1 . . . , is ≤ r が存在し，N = sj=1 ker χij と書ける．
問題 6. 以下の手順で，4 次対称群 S4 の正規部分群をすべて求めよ．
(1) Klein の四元群
K = {e, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}
{(
) (
) (
) (
)}
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
=
,
,
,
1 2 3 4
2 1 4 3
3 4 1 2
4 3 2 1
は S4 の正規部分群であることを示せ．また S4 /K ∼
= S3 も示せ．
(2) (1) を用いて S4 の指標表を求めよ．
(3) 問題 5 を用いて S4 の正規部分群をすべて求めよ．
問題 7.
⟨(
0 i
i 0
) (
)⟩
ξ6 0
,
⊂ GL2 (C)
0 ξ65
G=
√
とする．ただし，i = −1，ξ6 は 1 の原始 6 乗根である．
(1) G の位数が 12 であることを示せ．
(2) G の指標表を求めよ．
(3) V0 , V1 , . . . , Vr を G の C 上の既約表現の同値類の完全代表系とし（V0 を自
明な表現とする）
，W = C2 を表現 G ,→ GL2 (C) の表現空間とする．このと
き，以下の手順でグラフを作成せよ．
(a) 各 Vi をグラフの頂点とする．
(b) Vi から Vj に mij 本の矢を描く（相異なる 2 本の矢が交らわないように
描くこと）
．ただし，mij は W ⊗ Vj における Vi の重複度，つまり，
⊕m
⊕m
W ⊗ Vj ∼
= V 0j ⊕ · · · ⊕ V ij ⊕ · · · ⊕ V ⊕mrj
0
i
r
によって定義される非負整数である．
問題 8.
G = ⟨a, b, c | a3 = b3 = c2 = e, ba = ab, ca = a2 c, cb = b2 c⟩
とする．
(1) G の位数が 18 であることを示せ（ヒント：ϕ : Z/2Z → Aut(Z/3Z × Z/3Z)
を適当に選ぶと，全射準同型 G → (Z/3Z × Z/3Z) ⋊ϕ Z/2Z が得られる）
．
(2) G の共役類をすべて求めよ．
(3) G の指標表を求めよ（ヒント：G の部分群 H = ⟨a, b⟩ の一次元指標から誘
導される G の指標を考えよ）．

Download Report