物理数学 3 homework5
2014/11/17
1 SU (2) と SO(3)
(1) SU(2) の任意の元が
(
α β
−β¯ α
¯
)
, α, β ∈ C, |α|2 + |β|2 = 1
(1)
とかけることを証明せよ。
従って
{(
)
}
SU (2) =
α, β ∈ C, |α|2 + |β|2 = 1
{(
)
}
x1 + ix2 x3 + ix4 =
x1 , x2 , x3 , x4 ∈ R, x21 + x22 + x23 + x24 = 1
−x3 + ix4 x1 − ix2 α β
−β¯ α
¯
(2)
(3)
であるから、SU (2) ≃ S 3 (群としての同型ではない) であり、SU (2) は単連結なリー群である。
(3) SO(3) のリー代数と SU (2) のリー代数が一致することを示し、SO(3) の普遍被覆群が
SU (2) であることを示せ。
2 直交群 O(n), SO(n)
(1) 直交群 O(n) が群をなすことを示せ。
(2) g ∈ O(n) について det(g) = ±1 を示せ。
(3) SO(n) が O(n) の正規部分群であることを示せ。
ヒント：正規部分群の定義に照らし合わせて直接的に証明してもよいが、一般に準同型写像
f : G → G′ に対して Kerf が正規部分群になることを用いて証明してもよい。f として行列式を
とる写像を考えよ。
(4) O(n) は連結でないことを示せ。
SO(n) は連結であることも証明できる。
(5) SO(n) と O(n) が同一のリー代数を持つことを示せ。また、そのリー代数の基底を 1 種類
書き、それについての指数写像を求めよ。リー代数の基底の取り方は問わないが、指数写像が求
めやすいような形をとるとよい。
従って SO(n) と O(n) は高々離散部分群程度しか違わない。
(6) 行列式をとる写像 det : O(n) → R\{0} が準同型写像であることを証明し、O(n)/SO(n) ≃
Z2 であることを示し、Z2 程度の違いが鏡映操作に対応していることを説明せよ。
1

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