2 ¡ 7x + 49 4

1
xy 平面上で不等式 y = x2 ¡ 7x +
49
の表す領域を D とするとき, 次の問いに答えよ．
4
3
1 つの袋に 5 個の玉が入っており，それぞれに，0，1，2，3，4 の数字が書かれている．この袋
から玉を 1 つ取り出し，もとに戻すという試行をくり返していき，取り出した玉に書かれた数
(1) さいころを続けて 2 回投げたとき，1 回目に出た目を m，2 回目に出た目を n とする．このと
字と直前の試行で取り出した玉の数字との和が 4 となったとき終了する．
き，点 (m; n) が D に属する確率を求めよ．
n = 2 とする．n 回以下の試行で終了したときは，最後に取り出した玉に書かれた数字を得点
(2) さいころを 1 回投げたときに出た目を k とする．この k に対して 2 点 P(k; k + 1)，Q(k +
49
とで囲
1; k ¡ 1) が両方とも D に属するとき，P と Q を通る直線と放物線 y = x2 ¡ 7x +
4
まれた部分の面積を得点とする．また，P，Q の少なくとも一方が D に属さないときの得点は 0
とし，n 回の試行では終了しない場合の得点は 0 とする．このようにして定まる得点の期待値を
En とする．
このとき，次の問いに答えよ．
とする．こうして定まる得点の期待値を求めよ．
(1) 2 5 k 5 n とする．ちょうど k 回目の試行で終了する確率を Pk とするとき，P2 ; P3 ; P4 を
求めよ．また，Pk を k を用いて表せ．
(2) E2 ; E3 を求めよ．また，En を n を用いて表せ．
1
を満たす最小の自然数 n を求めよ．ただ
(3) 極限値 ® = lim En を求め，さらに En = ® ¡
100
n!1
し，log10 2 = 0:3010 とする．
2
x2
+ y2 = 1 の交点を
4
Q(¡s; t)，R(s; t) (s > 0) とする．点 P(0; 1) に対して，4PQR の面積を S(t) とするとき，
¡1 < t < 1 を満たす t に対して，xy 平面上の直線 y = t と楕円 C :
次の問いに答えよ．
4
(1) S(t) を求めよ．また，¡1 < t < 1 における S(t) の最大値とそのときの点 R の座標を求めよ．
(2) (1) で求めた点 R における楕円 C の接線 ` と x 軸との交点を T とするとき，cos ÎPRT の値を
求めよ．
(3) 楕円 C で囲まれる図形は直線 PR によって 2 つの部分に分割される．このうち原点が属さない
方の面積を，(1) で求めた点 R に対して求めよ．
次の問いに答えよ．
(1) 条件 x1 = 1; xn+1 = xn + 2n (n = 1; 2; 3; Ý) によって定められる数列 fxn g の一般項を
求めよ．
1
4
3
4
;
=
+
(n = 1; 2; 3; Ý) によって定められる数列 fyn g の一般
3
yn+1
yn
4
項を求めよ．
(2) 条件 y1 =
(3) fxn g; fyn g をそれぞれ (1)，(2) の数列とする．
¡
!
¡
!
xn
1
16
1
< が垂直であるときの正の整
2 つのベクトル an = $16 ¡
;
¡ 1< ; bn = $
;
xn
xn
4
yn
数 n の値を求めよ．
5
p
p
3)，B(0; ¡ 3) がある．点 P(0; 2) を通る直
¼
;
線と円 C の交点を Q，R とする．ただし，点 R は第 1 象限にあり，ÎAPR = µ #0 < µ <
2
とする．このとき，次の問いに答えよ．
xy 平面上の円 C : x2 + y2 = 3 上に 2 点 A(0;
p
(1) 原点 O から線分 QR へ垂線をひき QR との交点を S とする．線分 OS，QR の長さをそれぞれ µ
を用いて表せ．
p
p
(2) 4AQB と 4ABR の面積をそれぞれ T1 ; T2 とする．T1 = 3QP sin µ; T2 = 3PR sin µ が
成り立つことを示し，四角形 AQBR の面積 S(µ) を求めよ．
p
(3) (2) の S(µ) に対して，2 3 < S(µ) を満たす µ の値の範囲を求めよ．
6
放物線 y = ¡x2 + 2x を H1 ，また放物線 y = x2 を H2 で表す．H1 上の点 P(a; ¡a2 + 2a)
(1) 直線 `µ の方程式を求めよ．
(2) S(µ) を求めよ．
(3) T(µ) を求めよ．
T(µ)
(4) 極限値 lim
を求めよ．
µ!+0 S(µ)
における H1 の接線を ` とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 接線 ` の方程式を求めよ．また，a の値に関係なく，` は H2 と異なる 2 点で交わることを示せ．
(2) 接線 ` と放物線 H2 の異なる 2 つの交点を結ぶ線分の中点を Q とする．点 P が H1 上を動くと
き，点 Q の軌跡 C の方程式を求めよ．
(3) (2) の軌跡 C と放物線 H1 および y 軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
7
¡! ¡
! ¡! ¡
!
O を原点とする座標平面上に 2 点 A(1; 1)，B(3; ¡1) がある．OA = a ; OB = b とすると
き，次の問いに答えよ．
¡
! ¡
!
(1) ベクトル a と b のなす角を µ とするとき，cos µ の値を求めよ．
¡!
¡
!
¡
!
(2) t が 0 5 t 5 2 を満たしながら変化するとき，OP = a + t b で定められる点 P の動く範囲を
9
図のように頂点が A1 から A6 である 1 辺の長さが 2 の正六角形がある．さいころを投げて出た
目 k と頂点 Ak を対応させる．さいころを 3 回投げて出た目がすべて異なるときには，対応する
頂点を結んで三角形ができ，それ以外の場合には線分か点ができる．このとき，次の問いに答
えよ．
(1) 4A1 A2 A3 ，4A1 A3 A4 ，4A1 A3 A5 の面積をそれぞれ求めよ．
(2) さいころを 3 回投げたとき，三角形ができない確率を求めよ．
(3) さいころを 3 回投げたとき，4A1 A2 A3 と合同な三角形ができる確率を求めよ．
(4) さいころを 3 回投げたときにできる図形の面積の期待値を求めよ．ただし，線分と点の面積は
0 とする．
図示せよ．
¡!
¡
!
¡
!
(3) s; t が 1 5 s 5 3; 0 5 t 5 2 を満たしながら変化するとき，OQ = s a + t b で定められる点
Q の動く範囲の面積を求めよ．
8
A3
A2
xy 平面上に媒介変数 t で表された曲線 C : x = 2t ¡ sin t，
y = 2 ¡ cos t がある．t = µ (0 < µ < ¼) のときの点 P
A4
A1
(2µ ¡ sin µ; 2 ¡ cos µ) における C の法線を `µ とする．
`µ と x 軸と y 軸で囲まれた三角形の面積を S(µ) とし，
その三角形と曲線 C の下側にある部分との共通部分（図の
斜線部）の面積を T(µ) とする．このとき，次の問いに答えよ．
A5
A6
10 定数 a; b; c に対し，行列 A = '
a
2
¡1 b
?，X = '
2 1
1 1
AX = XD を満たしている．このとき，次の問いに答えよ．
?，D = '
c
0
0 ¡2c
? が等式
(1) a; b; c の値を求めよ．
(2) 正の整数 n に対し，An を求めよ．
(3) (2) の An に対し，An = '
sn
tn
un
wn
?，xn = sn ¡ un ，yn = tn ¡ wn とおく．xy 平面上の点
Pn ，Qn を Pn (xn ; xn )，Qn (xn+1 ; yn+1 ) と定める．3 つの直線 OPn ，OQn ，Pn Qn で囲まれた部
1
P
分を y 軸の周りに 1 回転させてできる回転体の体積を Vn とする．このとき，無限級数
Vn
n=1
の和を求めよ．

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