(1) ¡! AQ = t

1
xyz 空間において，原点 O を中心とする半径 1 の球面 S : x2 + y2 + z2 = 1，および S 上の点
3
自然数 n に対して，2 次正方行列 An を
A(0; 0; 1) を考える．S 上の点 A と異なる点 P(x0 ; y0 ; z0 ) に対して，2 点 A，P を通る直線
A1 = &
と xy 平面の交点を Q とする．次の問いに答えよ．
¡!
¡!
¡!
¡! ¡!
(1) AQ = tAP (t は実数) とおくとき，OQ を t; OP; OA を用いて表せ．
¡!
(2) OQ の成分表示を x0 ; y0 ; z0 を用いて表せ．
1
(3) 球面 S と平面 y =
の共通部分が表す図形を C とする．点 P が C 上を動くとき，xy 平面上
2
における点 Q の軌跡を求めよ．
1 2
0 1
>;
An+1 = &
2 1
0 3
> An
(n = 1)
により定める．また，2 次正方行列 Bn は
Bn+1 = &
2 1
0 3
> Bn ¡ &
1 3
2 4
>
(n = 1)
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1) 数学的帰納法を用いて
An = &
2n¡1 2n¡1 + 3n¡1
3n¡1
0
>
(n = 1)
が成り立つことを示せ．
2
0 5 µ 5 ¼ の範囲で定義された関数
(2) ある 2 次正方行列 C に対して，C = Bn ¡ An がすべての n について成り立つとする．このと
き，C を求めよ．
f(µ) = a sin µ cos µ + b(sin µ ¡ cos µ) ¡ 1
を考える．ただし，a; b は正の実数とする．次の問いに答えよ．
(1) t = sin µ ¡ cos µ として，f(µ) を a; b; t を用いて表せ．また，t のとりうる値の範囲を求
めよ．
(3) (2) の条件を満たす Bn のうち，逆行列をもたないものは B1 に限ることを示せ．
4
(1) a = 0 のとき，S(a) =
(2) a が 0 5 a 5
(2) 等式 f(µ) = 0 を満たす µ が存在するような点 (a; b) 全体からなる領域を座標平面上に図示
せよ．
a を実数とする．次の問いに答えよ．
5
Z
1
0
jx3 ¡ 3ax2 + 2a2 xj dx を求めよ．
1
の範囲を動くとき，S(a) の最大値を求めよ．
2
xy 平面において，原点 O を中心とする半径 1 の円を C とする．a を正の実数とし，点 A(0; 1)
を通り，傾き a の直線を ` とする．C と ` の交点で，A と異なるものを P とし，` と直線 y = ¡2
の交点を Q とする．また，P における C の接線を m とし，m と直線 y = ¡2 の交点を R とす
る．次の問いに答えよ．
(1) 直線 m の方程式を a を用いて表せ．
(2) a が正の値をとって動くとき，線分 QR の長さの最小値と，そのときの a の値を求めよ．
(3) (2) で求めた a の値に対して，点 A を通り，ÎQAR を二等分する直線の方程式を求めよ．
6
8
次の問いに答えよ．
(1) a を定数とし，正の数からなる数列 fxn g は
B
p
lim ( xn + n ¡ n) = a
A#
n!1
xn
を満たすとする．このとき， lim p = 2a が成り立つことを示せ．
n!1
n
(2) 自然数 L; n に対して
B
B
B
L
p
1 P
p 1
< L+n¡ n
L+n+1¡ n+1<
2 k=1 k + n
A を 2 次の正方行列とし，a と b はどちらも 0 でない実数とする．零ベクトルではない 2 つのベ
¡
!
¡
!
クトル u = (x; y)， v = (z; w) に対して，
x
y
; = a#
x
y
;;
A#
が成り立つとする．X = #
z
w
x
; = b#
z
y w
z
w
;
; とおくとき，次の問いに答えよ．
¡
! ¡
!
(1) xw = yz ならば， u と v は平行であることを示せ．
(2) X が逆行列をもたなければ，a = b であることを示せ．
が成り立つことを示せ．
(3) a と b が異なるならば，A は逆行列をもつことを示せ．
(3) b は定数で，b > 1 とする．自然数 n に対して，集合
¯
L
P
¯
p 1
UL ¯ L は
< b を満たす自然数m
k+n
k=1
Ln
の要素の個数を Ln とする．このとき， lim p = b が成り立つことを示せ．
n!1
n
7
次の問いに答えよ．
(1) 関数 f(x) =
¡x3
+ 3ax ¡ 2b に対して，f(x) = 0 が 2 重解または 3 重解をもつならば，
a3 = b2 となることを示せ．ただし，a = 0 とする．
(2) 次の問いに答えよ．
2
1
が曲線 C : y = x 3 (x = 0) に接するとき，直線 ` の傾
(i) xy 平面上の直線 ` : y = mx +
3
き m の値と接点の座標を求めよ．
(ii) (i) で求めた m の値に対する直線 `，曲線 C および y 軸で囲まれた部分を，y 軸のまわりに
1 回転してできる回転体の体積を求めよ．
9
関数 f(x) = ¡x2 + 6x + 2 x ¡ 3 ¡ 6 について，次の問いに答えよ．
(1) y = f(x) のグラフをかけ．
(2) 曲線 y = f(x) と直線 y = ax が 4 点を共有するような a の値の範囲を求めよ．
3
(3) 曲線 y = f(x) と直線 y =
x で囲まれた部分の面積を求めよ．
5
10 点 O を原点とする xy 平面上に 3 点 P(1; 0)，Q(cos µ; sin µ)，R(sin µ; ¡ cos µ) をとる．角
µ は 15± 5 µ 5 45± の範囲にあるとし，4OPQ と 4OPR の面積をそれぞれ S と T とする．この
とき，次の問いに答えよ．
(1) µ < ® < µ + 90± を満たす角 ® に対して点 A(cos ®; sin ®) をとる．4OPA の面積と線分 QR
の長さの積が S + T に等しくなるとき，® を µ を用いて表せ．
(2) µ が 15± 5 µ 5 45± を満たしながら変化するとき，T ¡ S のとりうる値の範囲を求め，T ¡ S
が最大値をとるときの µ の値を求めよ．
(3) µ を (2) で求めた値とする．このときの S と T の値を求めよ．また，点 Q0 (¡ cos µ; ¡ sin µ)
に対して，4PQQ0 の面積を求めよ．

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