2014.9.25 物理化学 IV レポート下の考え方にしたがって，変分原理を証明せよ。締め切りは 10 月 9 日１０：００とする。提出の有無と出来栄えは成績に反映させる。手書きで構わないが，スキャナで PDF ファイルを作成し，G-Port 経由で提出すること。 Hˆ  n  En n が解きたい問題で，φを 0 の近似関数とする。（１）関数φを次のように展開する。    cn n n このとき， n が規格直交系であること  i * j d   ij を用いて，次式を示せ。 cn   n *  d （２）2-3 式にφの展開式を代入し，次式を示せ。 E   c *c E  c *c n n n n n n n （３）上の式の左辺から E0，右辺から E0 n cn * cn E  E0  c n n * cn を引くと  c * c E  E   c *c n n n n n n 0 n が得られる。右辺が正になる理由を説明し，変分原理 E  E0 を証明せよ。健脚向け課題：１次摂動の固有関数を求めよう。A，B，C に入る式を求めよ。固有関数の第１次近似を求めよう。Hˆ ( 0 ) はオブザーバブルなので， n (1) は n ( 0) で展開できる。  n (1)   ck k ( 0 ) (1) k ck を求めることができれば， n (1) が求まったことになる。(1)を１次摂動の式 (1) ( 0) ( 0) (1) (1) ( 0) Hˆ ( 0) n  Hˆ (1) n  En  n  En  n (2-12)’’ に代入すると  c Hˆ  k ( 0 )  Hˆ (1) n ( 0)  En ( 0 )  ck k ( 0)  En (1) n ( 0 ) ( 0) k k (2) k となる。 ( 0) ( 0) ( 0) Hˆ ( 0) k  Ek  k (3) であるから，(2)は c E k  k ( 0)  Hˆ (1) n ( 0 )  En ( 0)  ck k ( 0)  En (1) n ( 0) ( 0) k k (4) k さらに整理して，  c E k (0) n  Ek (0)  (0) (1) (0)  Hˆ (1) n  En  n (0) k (5) k となる。まず，m≠n の場合の cm を求めよう。(5)の両辺に m ( 0)* をかけて積分する。  c E k ( 0) n  Ek ( 0) k   k ( 0) d   m ( 0)* Hˆ (1) n ( 0) d  En (1)*  m ( 0)* n ( 0) d ( 0 )* m (6)  k ( 0)* の規格直交条件から，  cm En ( 0)  Em ( 0)    ( 0 )* m ( 0) Hˆ (1) n d (7) であるから， cm となる。   ( 0 )* m En ( 0) Hˆ (1) n d ( 0)  Em (A 0) (8) m=n のときは，  n   n ( 0)   n (1) (9) として， n の規格化を考えると，λ の１次までの範囲では  0 (10) としてよいことがわかる。つまり， n (1)    k n ( 0 )* k En ( 0) Hˆ (1) n d B ( 0)  Ek ( 0)  k ( 0) (11) となる。λ＝１とおいて１次摂動の固有関数をもとめると，  n  n となる。 ( 0)    k n ( 0 )* k En ( 0) Hˆ (1) n d ( 0C )  Ek ( 0)  k ( 0) (12)