数学および物理学演習第 10 週解答例 (2014.7.4)

数学および物理学演習
第 10 週
解答例
(2014.7.4)
問1
(1) 音速を v, 振動数を f, 波長をとすると, v = f の関係があるので,  
f = 4.50 MHz = 4.50106 Hz に注意して数値を代入すると,  
v
である。
f
343 m/s
 7.6222  10 5 m
4.50  106 Hz
= 7.6210–5 m = 76.2 m である。
(2) (1)同様に, v = 1.50 km/s = 1.50103 m/s に注意して数値を代入すると,  
1.50  103 m/s
4.50  106 Hz
= 3.333310–4 m = 3.3310–4 m = 0.333 mm である。
問2
(1) 振動数を f, 周期を T とすると, T 
1
1
1
 2.50  10 3 s
であるから, T  
f
f 400 Hz
= 2.50 ms である。
(2) 角振動数をとすると, f 

2
であるから,  = 2f = 2400 Hz = 2513 rad/s = 2.51103
rad/s である。
(3) 波長を, 波数を k とすると, k 
入して, k 
2

であるから,  = 10 cm = 0.10 m に注意して数値を代
2
 62.83 rad/m  63 rad/m である。
0.10 m
(4) 弦上を伝わる波は横波であるから, 弦は波の進行方向と垂直な方向(横方向)に振動して
いる。弦上の点の振動の速さ(横方向の速さ) u を求めるには, 正弦波の変位を表す式
y(x, t) = ymsin(kx – t) (ym は振幅, t は時間)を t で偏微分すれば良い。従って, u 
y ( x, t )
t
= –ym cos(kx – t)である。–1  cos(kx – t)  1 であるから, u の最大値は um = ym である。
数値を代入して, um = ym = (2.51103 rad/s)  (2.010–2 m) = 50.2 m/s = 50 m/s である。
1
問 3 両端が固定された長さ L の弦の共鳴振動数は, f n  n
v
(n = 1, 2, 3, ···)で与えられる。
2L
ここで v は波の速さである。最も低い共鳴振動数(n = 1)は f1 
二つの共鳴振動数の差 f n 1  f n  (n  1)
v
であり, これは隣り合う
2L
v
v
v
n

に等しい。従って最も低い共鳴振動
2L
2L 2L
数は, f1 = 420 Hz – 315Hz = 105 Hz である。
問 4 宇宙飛行士と装置の振動部分の総質量は M + m, ばね定数は k であるから, ばねの振
動の角振動数は  
k
k
k
k
である。これより,  2 
, M m 2 , M  2 m
M m
M m


(式 A)である。周期は T 
2

で与えられるので,  
2
である。これを式 A に代入して,
T
2
kT 2
T 
M  k    m    m である。
4
 2 
問 5 張力で張られた線密度をのピアノ線を伝わる波の速さは v 
を L とすると基本振動(n = 1)の振動数は f  n

, ピアノ線の長さ

v
v
1 

(式 A)であ
であるから, f 
2L 2L
2L 
る。
振動数 f1, f2 の二つの波で生じるうなりの振動数は, fbeat = |f1 – f2|である。毎秒 6 回のうな
りが生じたということは, 2 本のピアノ線の基本振動数が 6 Hz 異なるということである。
x > 0 より1 > 2 であり, 式 A より f1 > f2 である。これらより, f1 
1 2
1
f2 

2L  2L
2
1  x  1
f
= 594 Hz であるから, 2 
f1

2
f 
 594 Hz 
  1  0.980  0.020 である。
x  1   2   1  
 600 Hz 
 f1 
2
1
2L
1 1
 600 Hz ,
2L 
1  x  1

1 1
2L 
2
f 
 1  x , 1  x   2  ,
 f1 
問 6 アルミニウム線と鋼鉄線は, 同じ張力で張られ, 同じ振動数 f で振動するが, 線密度
(単位長さ当たりの質量) が異なるため, 波の速さ v と波長は異なる。振動モードの指数
(定在波の腹の数)を n, 線の断面積を S, 長さを L, 密度(単位体積当たりの質量)をとすると,
共鳴振動数 f n
f 


v
, および密度 
より,
, 線を伝わる波の速さ v

S
2L
n 
n 

, 従って n  2 Lf
2 L  2 L S
S
である。

以下, アルミニウムの部分の量に添え字 Al, 鋼鉄の部分に添え字 Fe を付ける。アルミニ
 Fe S
n
  LFe  Fe である。1 g/cm3 =
ウムの部分と鋼鉄の部分の n の比を取ると, Fe 
nAl
 Al S LAl  Al
2 LAl f

2 LFe f
103 kg/m3 に注意して数値を代入すると,
nFe 0.866 m  7.80  103 kg/m 3

 2.4999  2.50
nAl 0.600 m  2.60  103 kg/m 3
である。この比を与える最小の整数は, nAl = 2, nFe = 5 である。また張力は, 重りに働く重力
mg (g は重力加速度)で与えられる。1 cm2 = (102 m)2 = 104 m2 に注意して, 共鳴振動数をア
ルミニウムの部分について計算すると,
f 
nAl
2 LAl

n
 Al
 Al S 2 LAl
mg
2
10.0 kg  9.80 m/s 2
 323.57 Hz


 Al S 2  0.600 m
2.60  103 kg/m3  1.00  10 6 m 2
 324 Hz である。(Fe の部分について計算しても同じ値になる。)
3

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