(1)真空中に半径a[m]の導体球が置かれている。導体球表面に単位面積当たり+σ[C]の電荷を与えたとき、導体球の中心からr[m]の点（r＞a）のエネルギー密度wと、それを積分して誘電体中に蓄えられる全エネルギーW1を求めよ。また、導体球の電位Vと静電容量Cを求め、その電位と静電容量から全エネルギーW2を求めよ。さらに、W2がW1と一致することを確かめよ。解答 r>aにおける電界Eと電束密度Dを考えると  Q [C/m2] 4 a 2 より、 Q  4 a 2 [C] であるから、ガウスの定理より  E  ds  E  4 r  2 S a E  2 [V/m] 0 r 2 Q 0  4 a 2 0 同様にガウスの定理より  S D  ds  D  4 r 2  Q  4 a 2 a 2 [C/m2] D 2 r r[m] a[m] +σ[C/m2] または、 a 2 [C/m2] D  0 E  2 r このとき、静電エネルギー密度wは 1 1 a 2 a 2 a 4 2 [J/m3] w  ED   2  2  2 0 r 4 2 2 0r r よって誘電体中に蓄えられる全エネルギーW1は W1     a W  ds  dr  2 a 4 2 0   a   a a 4 2 2  4  r  dr  4 2 0 r    a 2 a 4 2 dr 2 0r 1 2 a 4 2  1  2 a 3 2 [J] dr     2 0 0 r r a つぎにr>aにおける電位Vを求めると a a 2  0 V    E dr   a 1 a 2  1  a   r 2 dr    r    [V]  0 0 a であるから、静電容量Cを求めると Q 4 a 2 C   4 0 a [C] a V 0 電位と静電容量から全エネルギーW2を求めると 2  a  2 a3 2 1 1 2 [J] W2  CV   4 0 a     0 2 2  0  ∴W1とW2は一致する