(6月7日実施済)の問題(pdfファイル:10ページ)

解析学火・金曜日 3 時限夏学期
担当山田裕理
中間試験： 2016 年 6 月 7 日（火）
持込自由
1. a < b (a, b ∈ R) に対して，次のことをを示せ．
∞
∩
(
n=1
∞
1 ] ∩ [
1 ]
a− , b =
a − , b = [a, b],
n
n
n=1
∞
∪
(
n=1
∞
1] ∪ (
1)
a, b −
=
a, b −
= (a, b)
n
n
n=1
2. (X, F, µ) を有限加法的測度空間とする．有限加法的測度 µ について，次の (a) と (b)
は同値な条件であることを示せ．
∪∞
(a) An ∈ F (n = 1,∪
2, . . .), Am ∩∑An = ∅ (m ̸= n),
n=1 An ∈ F
∞
∞
=⇒ µ( n=1 An ) = n=1 µ(An ).
∪∞
(b) An ∈ F (n = 1,∪
2, . . .), A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ,
n=1 An ∈ F
=⇒ µ( ∞
A
)
=
lim
µ(A
).
n
n=1 n
n→∞
3. R は X の部分集合の集合で，次の 3 つの条件を満たすとする．
(1) ∅ ∈ R.
(2) E, F ∈ R ならば E ∩ F ∈ R.
(3) E ∈ R ならば，補集合 E c = X − E は互いに交わらない有限個の R の元の和
集合として表せる．
互いに交わらない有限個の R の元の和集合として表される X の部分集合全部の集
合を A(R) とおく．A(R) は有限加法族であることを示せ．
4. R の区間全部の集合を I(R) とし，互いに交わらない有限個の区間の和集合として表
せる R の部分集合全部の集合を F(R) とする．区間 I = (a, b] (−∞ ≤ a ≤ b ≤ +∞)
に対して m(I) = b − a とする．F = I1 ∪ · · · ∪ Ip ∈ F(R) (Ii ∈ I(R), Ii ∩ Ij = ∅
(i ̸= j)) に対して m(F ) = m(I1 ) + · · · + m(Ip ) と定めることにより得られる有限加
法的測度空間 (R, F(R), m) を考える．A ⊂ R に対して，
{ ∑∞
}
∪∞
m∗ (A) = inf
n=1 m(Fn ); Fn ∈ F(R) (n = 1, 2, . . .), A ⊂
n=1 Fn
として m∗ (A) を定義する．A = Q (有理数全部の集合) のときの m∗ (Q) を，m∗ の定
義にしたがって求めよ．(ヒント．Q が可算集合であることを使う)
5. (X, F) を可測空間とする．A ⊂ X の特性関数を χA で表す．すなわち，x ∈ A のと
き χA (x) = 1 で x ̸∈ A のとき χA (x) = 0 である．
(1) An (n = 1, 2, .∑
. .) を互いに交わらない X の部分集合，an を互いに異なる実数
∞
とする．f = n=1 an χAn が F-可測関数になるための An (n = 1, 2, . . .) に関
する条件を求めよ．
(2) B を F に属さない X の部分集合とする．g = χB − χB c とおく．ただし，B c =
X − B である．g は F-可測関数ではないが，|g| は F-可測関数であることを
示せ．

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