電磁気学C Electromagnetics C 5/1講義分 電磁場の波動方程式 山田 博仁 レポートについて 本日、第1回目のレポート問題を出題(Webに掲載)します。〆切は、 2週間後の5/15(木)とします。 以下のように、成績評価の対象となりますので、きちんと解答して期 日までに提出されることをお奨めします。 成績評価 a) 出席点 2点×15回 b) レポート 10点×3回 第1回 (5/1)、第2回 (5/29)、第3回 (6/26)出題予定 c) 定期試験 40点 再試は行いません 電磁場のエネルギー 電磁場のエネルギー密度 u は、以下の式で与えられる 1 1 ( E D B H ) ( E 2 H 2 ) 2 2 1 1 1 1 ue E D E 2 um B H H 2 2 2 2 2 u ue u m ここで、ue は電場によるエネルギー密度、um は磁場によるエネルギー密度 ある空間 V 内の電磁場エネルギーは、それをその空間内で体積積分したもの で、 1 U U e U m ( E D B H )dV 2 V 物質中(真空中)に時間的に変動しない電磁場が存在する場合、空間に蓄えられ る電磁場のエネルギー密度 時間的に変動する電磁場のエネルギー 次に、時間的に変動する電磁場のエネルギーを表す式を導出してみる 以下のベクトル恒等式(教科書 p228の一番上の式)からスタート div ( E H ) H rot E E rot H 上式にMaxwellの方程式を代入 B( x, t ) rot E ( x, t ) t rot H ( x, t ) ie ( x, t ) div ( E H ) H B D E ie t t B D E H E ie t t 1 E D H B E ie t 2 D( x, t ) t 媒質が等方性であるとして、 D E BH E D E D E D t t t 時間的に変動する電磁場のエネルギー(続き) 従って、 1 E D H B E ie div ( E H ) t 2 上式を、ある領域 V で積分すると、 電磁場に関するエネルギー保存則 1 E D H B dV E ie dV div ( E H ) dV t V 2 V V Gaussの定理 1 E D H B dV E ie dV ( E H ) ndS t V 2 V S S = E×H を、 Poynting ベクトル u 電磁場のエネルギー密度 ジュール熱による 領域 V を囲む閉曲面 S から単位 エネルギー損失 時間に外部に流出するエネルギー S=E×H n Poynting ベクトル S = E×H は、 E S dS 電磁場のエネルギーの流れを表す U E･ie V ※ Poyntingベクトルがあるからと言って、 必ずしもエネルギーの流れがある訳 ではない S H 時間的に変動する電磁場のエネルギー(続き) S S 電磁場のエネルギー保存則 U E ie dV S ndS t V S U 電磁場エネルギー 熱になって失わ = + の時間的減少 れるエネルギー E･ie 単位時間に外部に流出 するエネルギー u と S との関係は? 単位体積当たりの 電磁場エネルギー: u 単位時間に単位面積を通過する 電磁場のエネルギー u c 電磁波は、単位時間に光速度 c だけ進む S = E×H 従って、 cu E H の関係がある 自由空間でのMaxwell方程式 Maxwell方程式 B( x, t ) t D( x, t ) rot H ( x, t ) ie ( x, t ) t rot E ( x, t ) div D( x, t ) e ( x, t ) div B( x, t ) 0 ファラデーの電磁誘導則 アンペール・マクスウェルの法則 電場に関するガウスの法則 変位電流 磁場に関するガウスの法則 自由空間でのMaxwell方程式 (自由空間とは、真電荷および伝導電流がゼロ) B( x, t ) t D( x, t ) rot H ( x, t ) t rot E ( x, t ) 等方性、かつ線形、かつ非分散性の媒質中 D( x, t ) E ( x, t ) B( x , t ) H ( x , t ) div D( x, t ) 0 真空中 D( x, t ) 0 E ( x, t ) div B( x, t ) 0 B( x, t ) 0 H ( x, t ) 波動方程式の導出 第1式 E ( x, t ) B( x, t ) t D( x, t ) E ( x, t ) B( x , t ) H ( x , t ) 両辺の rotation をとる 2 2 D ( x , t ) E ( x, t ) E ( x, t ) B( x, t ) H ( x , t ) t t t 2 t 2 ベクトル恒等式 ( E ) ( E ) E H ( x, t ) D( x, t ) t 第2式 ( E ( x, t )) E ( x, t ) 0 従って、 D( x, t ) E ( x, t ) 0 2 E ( x, t ) E ( x, t ) 0 2 t 波動方程式 練習のため、第2式の rotation をとり、磁場に対する式を求めてみよう 2 B( x, t ) B( x, t ) 0 2 t 波動方程式導出においての変位電流の役割 変位電流は、MaxwellがAmpereの式に理論的考察により付加したものであるが、 仮に、この変位電流の項が無かったとしたら、波動方程式は導けるだろうか? 変位電流が無い場合の、自由空間でのMaxwell方程式は、以下のようになる。 rot E ( x, t ) B( x, t ) t 第1式の rotation をとると、 E ( x, t ) rot H ( x, t ) 0 B( x, t ) H ( x , t ) t t 0 div D( x, t ) 0 div B( x, t ) 0 第2式 H ( x, t ) 0 ( E ( x, t )) E ( x, t ) 0 D( x, t ) E ( x, t ) 0 従って、 E ( x, t ) 0 となり、 静電場の場合のラプラスの方程式となってしまう。 波動方程式の意味 2 2 E ( x, t ) 0 t 2 E ( x, t ) E ( x, t ) 0 2 t 2 2 2 2 E ( x, t ) 0 2 2 2 E ( x, t ) 2 x y z t ここで簡単のため、E(x, t)は x と y には依存せず、z と t のみの関数であると仮定 つまり、 E(x, t) → E(z, t) 2 E ( z, t ) 2 E ( z, t ) 0 z 2 t 2 1 v 今ここで、 と置くと、 2 E ( z, t ) 1 2 E ( z, t ) 2 0 2 2 z v t 後で分かるように、v は電磁波が物質中を伝わる速度、真空中の場合には、v は 光速度 c で与えられ、 c 1 0 0 2.998108 m/s 波動方程式の解 波動方程式 (教科書 p.200 参照) E ( z, t ) 1 E ( z, t ) 2 0 の解は、 E ( z, t ) X1 ( z vt) X 2 ( z vt) で与えられる。 2 2 z v t 2 2 x + z 方向に速度 v で進む波 (進行波) - z 方向に速度 v で進む波 (後退波) z y より一般的には、波動方程式 1 2 E ( x, t ) E ( x, t ) 2 0 の解は、 v t 2 E ( x, t ) X1 (k x t ) X 2 (k x t ) で与えられる。 + k 方向に進む波 - k 方向に進む波 kは波の伝搬方向を示す波数ベクトル は波の角周波数 平面電磁波 波面が平面からなる波が、波面に垂直方向に伝搬していく k x t z 波面 k x t3 k x t2 x k 0 x k x t1 y 平面電磁波 自由空間を伝搬する電磁波(進行波)の中で、特別な場合として正弦波で表される 電磁波を取り上げる。 角周波数 で振動しながら、+ z方向に伝搬する電磁波 Ex Ex0 cos(kz t ) H x H x0 cos(kz t ) Ey Ey 0 cos(kz t ) H y H y 0 cos(kz t ) Ez Ez 0 cos(kz t ) H z H z 0 cos(kz t ) kは波数で、 k 2 v x E z y 平面電磁波 x, y 方向には一様 + z方向に伝搬する電磁波 Ex Ex0 cos(kz t ) H x H x0 cos(kz t ) Ey Ey 0 cos(kz t ) H y H y 0 cos(kz t ) Ez Ez 0 cos(kz t ) H z H z 0 cos(kz t ) rot E ( x, t ) B( x, t ) に代入、 t B Ez E y E E B B E E e x x z e y y x e z x e x y e y z e z z x y t t t z y x 0 0 E y z Bx t By Ex z t Bz 0 t 0 0 kEy 0 sin(kz t ) H x0 sin(kz t ) kEy 0 H x0 kEx0 sin(kz t ) H y 0 sin(kz t ) kEx0 H y 0 H z 0 sin(kz t ) 0 H z 0 0 平面電磁波 同様に、 rot H ( x, t ) D( x, t ) t に代入、 Dy H z H y H y H x Dx Dz H x H z e e e e e ez y x y x x z y z z x y t t t 0 0 H y 0 0 Dx t kH y 0 sin(kz t ) Ex0 sin(kz t ) kH y 0 Ex0 H x Dy z t kHx0 sin(kz t ) Ey 0 sin(kz t ) kH x0 Ey 0 z Dz 0 t Ez 0 sin(kz t ) 0 以上の関係より、 Ey Ex Hy Hx Ez H z 0 Ez 0 0 平面電磁波 Ey Ex Hy Hx Ez H z 0 E と H (ベクトル)は、波の進行方向に垂直な平面 内に存在し、互いに直交する。また、 E と H の大 きさの比は一定 x Ex E 媒質中での電場と磁場の大きさの比を、媒質の インピーダンスという Z H E 真空中のインピーダンス Z0は、 0 1.2566371 10 6 Z0 377 [] 0 8.854185 10 12 z Ey Hy H y 平面電磁波 インピーダンスZの媒質中を伝搬する電磁波に関して、EとHとの間には 以下の関係が成り立つ E Z (H k ), k H 1 k (E ) Z k x k E z y H ベクトル解析の復習 重要なベクトル恒等式 ラプラシアン 2 2 2 2 2 2 x y z rot grad ( ) 0 div rot E ( E ) 0 div grad ( ) 2 ( ) E E (スカラー場) (ベクトル場) rot rot E ( E ) ( E ) E ガウスの定理 2 2 2 1 2 □ 2 2 2 2 2 x y z c t 1 2 2 2 c t ストークスの定理 F ndS FdV S V n ダランベルシアン F dr ( F ) ndS C S F dS S V n F S dS C dr ベクトル解析の復習 演算子∇(ナブラ)と ラプラシアンの意味 , , x y z 2 2 2 2 2 2 y z x 勾配(gradient) ( x) ( x) ( x) ( x) ( x) ( x) grad ( x) ( x) , , ex ey ez y z x y z x 発散(divergence) divE ( x) E ( x) Ex ( x) E y ( x) Ez ( x) x y z ナブラ∇と E(x)のスカラー積 スカラー積(内積) A B Ax Bx Ay By Az Bz ベクトル解析の復習 回転(rotation) ex ey ez rot E ( x ) E ( x ) x y z Ex ( x) E y ( x) Ez ( x) E ( x ) E y ( x ) E y ( x ) E x ( x ) E ( x ) E z ( x ) e x x e z z e y y z z x x y ナブラ∇と E(x)のベクトル積 ベクトル積(外積) ex ey ez A B Ax Ay Az Ay Bz Az B y e x Az Bx Ax Bz e y Ax B y Ay Bx e z Bx By Bz
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