電磁気学C

電磁気学C
Electromagnetics C
5/18講義分
電磁波の性質
山田博仁
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成績評価
a) 出席点: 2点×14回
b) レポート 8点×1回、12点×2回 (6/1, 7/6予定 )
c) 定期試験: 40点
a), b), c) の合計で、60点未満D(不合格)
60点以上70点未満C
70点以上80点未満B
80点以上90点未満A
90点以上AA
追試、再試は行いません
自由空間でのMaxwell方程式
自由空間でのMaxwell方程式 (自由空間とは、真電荷および伝導電流がゼロ)
B( x, t )
t
D( x, t )
rot H ( x, t ) 
t
rot E ( x, t )  
等方性、かつ線形、かつ非分散性の媒質中
D( x, t )   E ( x, t )
B( x , t )   H ( x , t )
div D( x, t )  0
真空中
D( x, t )   0 E ( x, t )
div B( x, t )  0
B( x, t )  0 H ( x, t )
上の方程式を解くと、波動方程式
 2 E ( x, t )
E ( x, t )  
0
t 2
磁場に対する式も、
 2 B( x, t )
B( x, t )  
0
2
t
が得られる
波動方程式の解
波動方程式
 2
2
2 
 2 E ( x, t )
0
 2  2  2  E ( x, t )  
2

x

y

z

t


 2 E ( x, t )
E ( x, t )  
0
t 2
ここで、 v 
1

と置くと、

1 2 
   2 2  E ( x, t )  0
v t 

1  2 E ( x, t )
E ( x, t )  2
0
2
v
t
ダランベルシアン
□ E ( x, t )  0
1 2
□   2 2
v t
v は電磁波が物質中を伝わる速度
v
1

真空中の場合には、v は光速度 c となり、
c
1
0 0
 2.998108 m/s
波動方程式の解は、 E ( x, t )  X1 (k  x   t )  X 2 (k  x   t ) で与えられる。
+ k 方向に進む波
- k 方向に進む波
kは波の伝搬方向を示す波数ベクトル
 は波の角周波数
平面電磁波
波面が平面からなる波が、波面に垂直方向に伝搬していく
k  x  t  
波面
(等位相面)
z
x3
x2
x1
k
0
x
k・x –  t を波の位相と呼ぶ。
これがある一定値  を保持し
たまま(等位相)、時間発展して
いく様子は、等位相面(波面)
が平面からなる波が波面に垂
直方向に伝搬する様子を表す
k  x3   t3  
k  x2   t 2  
k  x1   t1  
y
k: 波数ベクトル(波の進行方向を向いている)
平面電磁波
電場が e(1) 方向に偏り、正弦関数的に振動する平面電磁波を考える
E( x, t )  e (1) E0 sin(k  x   t )
1  2 E ( x, t )
波動方程式 E ( x, t )  2
 0 に上式を代入すると、
2
v
t
 2
2 
2
2
(k x  k y  k z )  2  E ( x, t )  0
v 

0
上式が、任意の場所 x、任意の時刻 t で成立するためには、
つまり、 k 
2
2
v2
k  k  k x2  k y2  k z2
角周波数  を、正の値と定義すると、   v k
これを分散 (dispersion) 関係という。
  2 f
f は波の周波数(振動数)
k
2

と置けば、  
v
f
T
1
f
T は波の周期
平面電磁波
電場が e(1) 方向に偏り、正弦関数的に振動する平面電磁波
E( x, t )  e (1) E0 sin(k  x   t ) を、
電場に関するガウスの法則 divE ( x, t )  0 に代入する




divE ( x, t )   ex(1)  e(y1)  ez(1)  E0 sin(k x x  k y y  k z z  t )
y
z
 x

 (k x ex(1)  k y e(y1)  k z ez(1) ) E0 sin(k x x  k y y  k z z  t )
 (k  e (1) ) E0 sin(k x x  k y y  k z z  t )  0
上式が常に成り立つためには、 k e (1)  0 でなければならない
即ち、電場の偏りの方向 e(1) は、その波の進行方向のベクトル k に直交する
つまり、電波は横波である
e(1)
E( x, t )  e (1) E0 sin(k  x   t )
k
平面電磁波
磁場に対しても e(2) 方向に偏り、正弦関数的に振動する平面電磁波
B( x, t )  e (2) B0 sin(k  x   t ) を考え、
磁場に関するガウスの法則 divB( x, t )  0 に代入する




divB( x, t )   ex( 2)  e(y2)  ez( 2)  B0 sin(k x x  k y y  k z z  t )
y
z
 x

 (k x ex( 2)  k y e(y2)  k z ez( 2) ) B0 sin(k x x  k y y  k z z  t )
 (k  e ( 2) ) B0 sin(k x x  k y y  k z z  t )  0
上式が常に成り立つためには、 k  e ( 2)  0 でなければならない
即ち、磁場の偏りの方向 e(2) は、その波の進行方向のベクトル k に直交する
つまり、磁波も横波である
B( x, t )  e (2) B0 sin(k  x   t )
従って、
k
電磁波は横波 !!
e(2)
平面電磁波
媒質中での電場と磁場の大きさの比を、媒質の電磁インピーダンスという


Z
H

0
1.2566371 10 6
真空中では、 Z 0 

 377 []
0
8.854185 10 12
E
インピーダンス Z の媒質中を伝搬する平面電磁波に関して、E と H との間には
以下の関係が成り立つ
k
1
k
E  Z ( H  ),
H   (E  )
k
Z
k
つまり、電場および磁場の偏りの方向(偏波方向)は、波の進行方向に対して垂
直。(電場および磁場ベクトル E, B は、波の進行方向に対して垂直面内に存在
する。) また、電場および磁場の偏波方向( E, B の向き)は互いに直交する。
x
k
E
z
y
H
ベクトル解析の復習
重要なベクトル恒等式
ラプラシアン
2
2
2
 2  2  2
x y
z
rot grad    ( )  0
div rot E    (  E )  0
div grad    ( )   2  
(  ) E  E
(スカラー場)
(ベクトル場)
rot rot E    (  E )  (  E )  E
ガウスの定理
2
2
2
1 2
□ 2  2  2  2 2
x y
z
c t
1 2
 2 2
c t
ストークスの定理
 F  ndS     FdV
S
V
n
ダランベルシアン
 F  dr   (  F )  ndS
C
S
F
dS
S
V
n
F
S
dS
C
dr
ベクトル解析の復習
演算子∇(ナブラ)と(ラプラシアン)の意味
  
   , , 
 x y z 
 2
2
2 
       2  2  2 
 x  y  z
勾配(gradient)
  ( x)  ( x)  ( x)   ( x)
 ( x)
 ( x)
 
grad ( x)   ( x)  
,
,
ex 
ey 
ez
y
z 
x
y
z
 x
発散(divergence)
divE ( x)    E ( x) 
Ex ( x) E y ( x) Ez ( x)


x
y
z
ナブラ∇とE(x)のスカラー積
スカラー積(内積)
A  B  Ax Bx  Ay By  Az Bz
ベクトル解析の復習
回転(rotation)
ex
ey
ez



rot E ( x )    E ( x ) 
x
y
z
Ex ( x) E y ( x) Ez ( x)
 E ( x ) E y ( x ) 
 E y ( x ) E x ( x ) 
 E ( x ) E z ( x ) 
e x   x
e z
  z



e y  

y

z

z

x

x

y






ナブラ∇とE(x)のベクトル積
ベクトル積(外積)
ex
ey
ez
A  B  Ax
Ay
Az  (Ay Bz  Az B y )e x  ( Az Bx  Ax Bz )e y  (Ax B y  Ay Bx )e z
Bx
By
Bz

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