電磁気学C

電磁気学C
Electromagnetics C
5/7講義分
電磁場の波動方程式
山田博仁
レポートについて
先週、第1回目のレポート問題を出題(Webに掲載)しました。
提出期限は来週の5/14(木)です。
以下のように成績評価の対象となりますので、きちんと解答して期
日までに提出して下さい。(提出期限を過ぎて提出されたものは、
一切受け取りません)
成績評価
a) 出席点 2点×15回
b) レポート 10点×3回
第1回 (4/30)、第2回 (5/28)、第3回 (6/25)出題予定
c) 定期試験 40点
再試は行いません
電磁場のエネルギー
単位体積あたりの電磁場のエネルギー密度 u は、以下の式で与えられる
u  ue  um 
1
(E  D  B  H ) 
( E   H )
2
2
(等方性媒質の場合)
2
2
ue 
1
1
2
E D 
1
 E
um 
2
2
1
BH 
2
1
H
2
2
ここで、ue は電場によるエネルギー密度、um は磁場によるエネルギー密度
ある空間 V 内の電磁場エネルギーは、それをその空間内で体積積分したもので、
U Ue Um 
1
2

( E  D  B  H )dV
V
物質中(真空中)に時間的に変動しない電磁場が存在する場合、空間に蓄えられ
る電磁場のエネルギー
時間的に変動する電磁場のエネルギー


t
U 

E  i e dV 
V
電磁場エネルギー
の時間的減少

S
S
電磁場のエネルギー保存則
U
S  n dS
E･ie
S
=
熱になって消失す
+
る電磁エネルギー
単位時間に外部に流出
する電磁エネルギー
S = E×H を、
u と S との関係は?
Poynting ベクトルと呼ぶ
単位体積当たりの
電磁場エネルギー: u
単位時間に単位面積を通過する
電磁場のエネルギー
u
c
電磁波は、単位時間に光速度 c だけ進む
S = E×H
従って、
cu  E  H
の関係がある
自由空間でのMaxwell方程式
Maxwell方程式
rot E ( x , t )  
B ( x , t )
ファラデーの電磁誘導則
t
rot H ( x , t )  i e ( x , t ) 
D ( x , t )
t
電場に関するガウスの法則
div D ( x , t )   e ( x , t )
div B ( x , t )  0
アンペール・マクスウェルの法則
変位電流
磁場に関するガウスの法則
自由空間でのMaxwell方程式 (自由空間とは、真電荷 ρe および伝導電流 ie がゼロ)
rot E ( x , t )  
rot H ( x , t ) 
B ( x , t )
t
D ( x , t )
div D ( x , t )  0
div B ( x , t )  0
t
等方性、かつ線形、かつ非分散性の媒質中
D( x,t)   E ( x,t)
B( x,t)   H ( x,t)
真空中
D( x, t)   0 E ( x, t)
B( x, t)  0 H ( x, t)
波動方程式の導出
第1式
  E ( x,t)  
B ( x , t )
ここで媒質は、等方性かつ線形かつ非分散性と仮定している
t
D( x,t)   E ( x,t)
B( x,t)   H ( x,t)
両辺の rotation をとる
    E ( x,t)  

t
  B( x,t)  

t
ベクトル恒等式
  (  E )   (  E )   E
  H ( x,t)  
  H ( x,t) 
 D( x,t)
2
t
D ( x , t )
t
2
2
  
第2式
 (   E ( x , t ))   E ( x , t )
0
従って、

  D( x,t)     E ( x,t)  0
 E ( x,t)
2
 E ( x , t )  
t
2
0
波動方程式
練習のため、第2式の rotation をとり、磁場に対する式を求めてみよう
 B( x,t)
2
 B ( x , t )  
t
2
0
 E ( x,t)
t
2
波動方程式導出においての変位電流の役割
変位電流は、MaxwellがAmpereの式に理論的考察を行って付加したものであるが、
仮に、この変位電流の項が無かったとしたら、波動方程式は導けるだろうか?
変位電流が無い場合の、自由空間でのMaxwell方程式は、以下のようになる。
rot E ( x , t )  
B ( x , t )
t
第1式の rotation をとると、
    E ( x,t)  
rot H ( x , t )  0

t
  B( x,t)  
0
div D ( x , t )  0
div B ( x , t )  0

t
  H ( x,t)
第2式   H ( x , t )  0
 (   E ( x , t ))   E ( x , t )
0

  D( x,t)     E ( x,t)  0
従って、
E ( x, t)  0
となり、
静電場の場合のラプラスの方程式となってしまう。
波動方程式の意味
 E ( x,t)
2


   
2

t

2
 E ( x , t )  
t
2
0

E ( x,t)  0


2
2
2
 2

 
 E ( x,t)

E ( x , t )  
0
 2 
2
2 
2

x

y

z

t


ここで簡単のため、E(x, t)は x と y には依存せず、z と t のみの関数であると仮定
つまり、 E(x, t) → E(z, t)
 E ( z, t)
 E ( z, t)
2
z
2
今ここで、
2
 
v
t
1

2
0
 E ( z, t)
2
と置くと、
z
2
1  E ( z, t)
2

v
2
t
2
0
後で分かるように、v は電磁波が物質中を伝わる速度、真空中の場合には、v は
光速度 c で与えられ、
c
1
 0 0
 2 . 998  10 m/s
8
波動方程式の解
波動方程式
 E ( z, t)
2
z
2
1  E ( z, t)
(教科書 p.200 参照)
2

v
2
t
2
 0 の解は、 E ( z , t )  X 1 ( z  vt )  X 2 ( z  vt ) で与えられる。
x
+ z 方向に速度 v で進む波 (進行波)
- z 方向に速度 v で進む波 (後退波)
z
y
1  E ( x,t)
2
より一般的には、波動方程式
E ( x, t) 
v
2
t
2
0
の解は、
E ( x , t )  X 1 ( k  x   t )  X 2 ( k  x   t ) で与えられる。
+ k 方向に進む波
- k 方向に進む波
kは波の伝搬方向を示す波数ベクトル
 は波の角周波数
平面電磁波
波面が平面からなる波が、波面に垂直方向に伝搬していく
k x   t 
z
波面
k  x   t3  
k  x   t2  
x
k
0
x
k  x   t1  
y
伝送線路における電圧波の伝搬
伝送線路において、受電端から x だけ送電端の方に遡った位置 x での電圧は、
Vxe
j t

 V0 e
x
e
j ( t   x )

 V0 e
 x
e
j ( t   x )
で与えられた
-x 方向(つまり、送電端から受電端の方向)に位相速度/ で進む電圧波(入射波)
+x 方向(つまり、受電端から送電端の方向)に位相速度/ で進む電圧波(反射波)
送電端
E
受電端
入射波
ZL
反射波
x
x=0
e j(t±x) は、∓x方向に進む角周波数, 位相定数 の正弦波を表す
何故なら、e j(t±x) =cos(t±x)+jsin(t±x)
ここで、
x


( v p )
vp: 位相速度
平面電磁波
自由空間を伝搬する電磁波(進行波)の中で、特別な場合として正弦波で表される
電磁波を取り上げる。角周波数  で振動しながら、+ z方向に伝搬する電磁波
E x  E x 0 cos( kz   t )
H x  H x 0 cos( kz   t )
E y  E y 0 cos( kz   t )
Hy  H
E z  E z 0 cos( kz   t )
H z  H z 0 cos( kz   t )
y0
cos( kz   t )
kは波数で、
k 
2



v
x
E
z
y
平面電磁波
x, y 方向には一様
+ z方向に伝搬する電磁波
E x  E x 0 cos( kz   t )
H x  H x 0 cos( kz   t )
E y  E y 0 cos( kz   t )
H y  H y 0 cos( kz   t )
E z  E z 0 cos( kz   t )
H z  H z 0 cos( kz   t )
rot E ( x , t )  
 E z E y

 y  z

z
E x
z
B z
t
t
に代入、

 E y E x
 E x E z 
e x  


e


y

 x  y

z

x




0
0
E y
B ( x , t )

B x
t

0
B y
t
0
B y

B x
B z
e z  
e

e

ez
x
y


t

t

t

0
 kE y 0 sin( kz   t )   H x 0 sin( kz   t )
 kE y 0   H x 0
 kE x 0 sin( kz   t )    H y 0 sin( kz   t )
kE x 0   H
 H z 0 sin( kz   t )  0
 H z 0  0
y0
平面電磁波
同様に、 rot H ( x , t )   D ( x , t )
t
 H z H y

 y  z


 H x H z
e x  


x
 z

0
0

H y
z
H x
z
D z
t


D x
kH
t
D y
y0
に代入、
 H y H x

e


 y 
y

 x
0
0
sin( kz   t )   E x 0 sin( kz   t )
 kH x 0 sin( kz   t )   E y 0 sin( kz   t )
t
0
 E z 0 sin( kz   t )  0
以上の関係より、
Ex
H
y

D y

D x
D z
e z 
e

e

ez
x
y

t
t
t

Ey
Hx



Ez  H
z
0
kH
y0
  E x 0
 kH x 0   E y 0
 E z 0  0
平面電磁波
Ex
H

Ey

Hx
y


x
Ez  H z  0
E と H (ベクトル)は、波の進行方向に垂直な平面
内に存在し、互いに直交する。また、 E と H の大
きさの比は一定
Ex E
媒質中での電場と磁場の大きさの比を、媒質の
インピーダンスという
E

H


Ey Hy
 Z
H
真空中のインピーダンス Z0は、
Z0 
z
0
0

1 . 2566371  10
8 . 854185  10
6
 12
 377
[ ]
y
平面電磁波
インピーダンスZの媒質中を伝搬する電磁波に関して、EとHとの間には
以下の関係が成り立つ
E  Z (H 
k
k
),
H 
1
(E 
Z
k
)
k
x
k
E
z
y
H
ベクトル解析の復習
重要なベクトル恒等式
ラプラシアン
 
rot grad     (   )  0
div rot E    (   E )  0
div grad     (   )      
2
(   ) E   E
( スカラー場 )
rot rot E    (   E )   (   E )   E
x
2


2
y
2
x
2

ガウスの定理

2

2


2
y
2
1 
2
c t
2
2
ストークスの定理
 F  n dS     F dV
 F  d r   (   F )  n dS
S
C
V
n
S
F
dS
S
V

2
z
2

2
ダランベルシアン
□
( ベクトル場 )

n
F
S
dS
C
dr

z
2

1 
2
c t
2
2
ベクトル解析の復習
演算子∇(ナブラ)と (ラプラシアン)の意味
 

 

  
,
,
 x y z 
2
2
 2


       2 

2
2

x

y

z





勾配(gradient)
  ( x )  ( x )  ( x )   ( x )
 ( x )
 ( x )
 
grad  ( x )    ( x )  
,
,
ex 
ey 
ez
y
z 
x
y
z
 x
発散(divergence)
div E ( x )    E ( x ) 
E x ( x )
x

E y ( x )
y

E z ( x )
z
ナブラ∇と E(x)のスカラー積
スカラー積(内積)
A  B  Ax B x  A y B y  Az B z
ベクトル解析の復習
回転(rotation)
rot E ( x )    E ( x ) 
ex
ey
ez



x
Ex(x)
y
E y (x)
z
Ez (x)
 E z ( x ) E y ( x ) 
 E y ( x ) E x ( x ) 
 E x ( x ) E z ( x ) 
e x  

e z
 


e



y


z
x 
 y 
 z
 y

 x
ナブラ∇と E(x)のベクトル積
ベクトル積(外積)
ex
ey
ez
A  B  Ax
Ay
A z  ( A y B z  A z B y )e x  ( A z B x  A x B z )e y  ( A x B y  A y B x )e z
Bx
By
Bz

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