電気回路学講義ノート

前回の復習
伝搬する正弦波
+x 方向に伝搬する正弦波
2 

 1 2
sin( t  x)  sin 2 f t 
x   sin 2 t 
 


 T
角周波数位相定数
t1
従って、波数と角周波数の比は、
波の伝搬速度 v 


ある時刻(t = t1)について見てみると、
-x
0

t x
x   sin 2   
T  

位相角
x=λ
t=0
t=T
x1
x=0
ある場所(x = x1)について見てみると、
+x -t
0
+t
前回の復習
線路上での電圧、電流
Ix
γ, Z0
Vx
x
+は入射波、−は
反射波を表わす
入射波電流反射波電流
Ix+
Ix-
→は、電
圧フェー
ザの方向
を表わす
Vx+
Vx-
入射波電圧
反射波電圧
I0
V0
添え字は、線路上
での位置を表わす
ZL
x=0
受電端
Vx = Vx+ + VxIx = Ix+ + Ix- 
1
(Vx  Vx )
Z0
入射波電流と反射波電流は流れる
方向が反対であるため引き算となる
本講義での表記として、
+ は入射波, − なら反射波を表す
Vx+
位置 x での電圧を意味している
前回の復習
線路上での電圧、電流
Ix
γ, Z0
Vx
x
I0
V0
Z
x=0
受電端
線路上の任意の位置 x での電圧と電流は、受電端での電圧と電流 V0 と I0 を用いて、
入射波と反射波で表わした式
1
1
(V0  Z 0 I 0 )e x  (V0  Z 0 I 0 )e  x
2
2
1
1
1

(Vx  Vx ) 
(V0  Z 0 I 0 )e x 
(V0  Z 0 I 0 )e  x
Z0
2Z 0
2Z 0
Vx  Vx  Vx  V0 e x  V0 e  x 
I x  I x  I x  I 0 e x  I 0 e  x
双曲線関数を用いた式
Vx  V0 cosh x  Z 0 I 0 sinh  x
Ix 
V0
sinh  x  I 0 cosh x
Z0
で与えられる
波の反射
1. 半無限長線路 (x→∞)
送電端
Vs
Is
Zin
Zx は線路上の位置 x から受電端を見たインピーダンス
Ix
Z0
Zx
無限長
Vx
V0e x  0
反射波は無い(無反射)
Vx  Vs e l  Vs e(  j ) l
Vx
V0 e x  V0e  x
Vx
   ( x l )
  ( x l )
 l
 l
Z

 Z0
x
Vs V0 e
 V0 e
I x  (Vs / Z0 )e  I s e
Ix
x→∞ では0になる
線路上のどの場所から受電端を見たインピー
2. 特性インピーダンスZ0で終端した場合
ダンスも線路の特性インピーダンスZ0に等い
1.の場合と等価
Ix
I0 受電端
送電端 Is
xs=x+l
Vs
Zin
l
Z0
xs
Vx  V0e x  Vs e l
l
入射波のみ
I x  (V0 / Z0 )e x  (Vs / Z0 )e l  I s e l
x
Zx
Vx
V0 Z0
V0
 Z0
I0
x=0 インピーダンス整合
つまり、無反射
線路上どこから見てもインピーダンスはZ0
V
V
Z x  x  Z 0 送電端から Z in  s  Z 0
Ix
Is
見ても同じ
x
波の反射
3. 受電端を短絡した場合
送電端 Is
Vs
Zin
Z0
xs
I0 受電端
Ix
Zx
V0=0
Vx
x=0
全反射
x
l
短絡
1
Z 0 I 0 (e x  e  x )  Z 0 I 0 sinh  x 受電端では、入射波と反射波の振幅が等しい
2
1
任意の点より受電端の Z  Vx  Z tanh x
x
 x
I x  I 0 (e  e )  I 0 cosh  x
x
0
Ix
方を見たインピーダンス
2
Vx 
定在波
3

3
t  
0
244
5
2
2
3
2


2
x=0
電圧
電流
短絡
xs
x=0
波の反射
4. 受電端を開放した場合
送電端 Is
Vs
Zin
3.の場合の双対(電圧と電流を逆にしたもの)になっている
Ix
I0=0 受電端
Z0
xs
Zx
3

3
t  
0
244
5
2
2
開放
x=0
全反射
x
l
1
Vx  V0 (e x  e  x )  V0 cosh x
2
V
1 V0  x  x
Ix 
(e  e )  0 sinh  x
2 Z0
Z0
定在波
V0
Vx
受電端では、入射波と反射波の振幅が等しい
任意の点より受電端の Z  Vx  Z coth x
x
0
Ix
方を見たインピーダンス
3
2


2
x=0
電圧
電流
開放
xs
x=0
波の反射と定在波
+x方向に進行する波
t = 0

4

2
3
4


反射波
反射端
定在波=進行波+反射波
x
定在波

反射端(全反射)
進行波
反射波
定在波
定在波の腹の位置
定在波の節の位置
反射端(r=0.5)
進行波
反射波
定在波
反射端(r=0.1)
進行波
反射波
定在波
出展: http://www8.plala.or.jp/ap2/chishiki/teizaiha.html
反射係数
V
V0
Vx
V0

x
Vx
 Zx
Ix
Vx  V0e x , Vx  V0e x
x
Z0, 
1
V

(Vx  Z 0 I x )
Vx  Vx  Vx
2
より
1
Z 0 I x  Vx  Vx

V

(Vx  Z 0 I x )
x
電圧反射係数
2

反射波電圧 Vx Vx  Z 0 I x Vx / I x  Z 0 Z x  Z 0
Γx 




入射波電圧 Vx Vx  Z 0 I x Vx / I x  Z 0 Z x  Z 0
V0 e  x V0 2 x
  x   e
 Γ 0 e  2 x
電流反射係数
V0 e
V0

x
V0
Γ0  
V0
Z
x=0
Γ0 
V0 / I 0  Z 0 Z  Z 0

V0 / I 0  Z 0 Z  Z 0
Z 1  Γ0

Z0 1  Γ0
Zx 1 Γx

Z0 1  Γ x
1 Γx
V0 e  x
反射波電流 I x I 0 e  x
Z x  Z0
 2 x
     x     x   Γ 0e
 Γx
1 Γ x
入射波電流 I x
I0 e
V0 e
電流反射係数 = −電圧反射係数
電力反射率
Vx I x
Vx I x

V0 e  x I 0 e  x
V0 e x I 0 e x
 Γ x2
電力反射率=(電流反射係数)2 = (電圧反射係数)2
反射係数
1. 半無限長線路または、受電端を特性インピーダンスZ0で終端した場合
V0 G =0 無反射
Vx Gx=0
0
Z x  Z0
Vx  0
Z0, 
x
j
V0  0 Z0 Z=Z0
G0
-1
1
x=0
-j
2. 受電端を短絡した場合
Vx
1  e 2 x
Z x  Z0
1  e  2 x
Γ x  e

x
V
2 x
Z0, 
x
3. 受電端を開放した場合
Vx
1  e 2 x
Z x  Z0
1  e  2 x

x
V
x
V0 G =−1 全反射
0

0
V
短絡
G
(Z=0) -1 0
x=0
Γx  e
2 x
Z0, 
V0

0
V
x=0
j
1
-j
G0=1
全反射
開放
(Z=∞) -1
j
G0
-j
1
反射係数
4. 受電端をインピーダンスZで終端した場合
Vx Γ x  Γ0e2 x
1  Γ 0e 2 x
Z x  Z0
1  Γ 0 e  2 x
Vx
Z0, 
x
x

x
V
x
G0
V0
Z
0
Z0, 
jG
0
q 1
-1
x=0
5.受電端をリアクタンスXで終端した場合
Vx Γ  Γ e2 x
1  Γ 0e 2 x
Z x  Z0
1  Γ 0 e  2 x
V0
-j
V0 |G |=1 全反射
0

0
V
x=0
X
j G0
q 1
-1
Z   jX
q    2 tan1
X
Z0
-j
理想線路
R = G = 0 と仮定すると、無損失( = 0)かつ無歪となり、理想線路と呼ばれている
    j  ( R  jL)( G  jC )    2 LC  j LC
よって、   0,    LC ,
R  jL
L

G  jC
C
また、 Z 0 
減衰極小条件
R と G を一定として L および C を変化させた場合に、 が極小になる条件は、
 を L または C で微分して、
 
 j G  jC
j

j


L L
L
2 R  jL 2Z 0
Z0 
R 1  j ( L / R)

G 1  j (C / G)
従って、 Z 0 
であるから、

 0 となるためには、Z0は実数
L
L C

R G
R
L

G
C
であれば、Z0は実数となる
 min  RG,    LC
 
 j R  jL
j


j


Z0 となり、
C で微分した場合も同様に、
C C
C
2 G  jC
2
上記の条件が満足されれば が極小になる
無歪線路
f(t)
g(t)
t
A0
t0
t
g (t )  A0 f (t  t0 )
無歪線路の条件
(ⅰ) 減衰定数(或いは増幅利得)が周波数に無関係に一定 (A0は周波数に依らない)
(ⅱ) 位相定数は周波数に比例する (或いは、位相速度 vp が一定である)

2


2 f 

vp
vp
伝送線路のパラメータとしてこの条件を与えるには、
・  が一定
・  が  に比例
・ Z0が一様
一様でないと不連続点で反射が起こる
t
L C
 は無歪の条件でもある
R G
Z01
Z02
+
Z03
t
t
装荷線路
装荷ケーブル
L
C

通常の架空伝送線路では、Gが非常に小さいため
となり、無歪や減
R
G
L C

衰極小条件からは大きくかけ離れたものとなっている。そこで、
に近
R G
づけるために、線路の途中に L を装荷したものを装荷ケーブルと言い、伝送距
離を大きく延ばすことができたために、真空管が発明される以前には広く使わ
れていた。しかし、真空管による電気信号の増幅が可能になってからは、次第
に下記の無装荷ケーブルに置き換わっていった。現在ではさらに同軸ケーブル
による伝送が主流となっている。
L
L
L
L
無装荷ケーブル
松前重義氏がその発明と実用化に大きく貢献
興味がある方は、以下のページを参照
http://www.u-tokai.ac.jp/about/movie/history/index.html
松前重義 1901-1991

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