電気回路学 Electric Circuits 情報コース4セメ開講 供給電力最大の法則 山田 博仁 供給電力最大の法則 電源の内部インピーダンス I Z0=R0+jX0 R E 電源側 負荷側 I E Z0 Z R で消費される電力 P は、 Z=R+jX 負荷インピーダンス jX 2 PRI R V V J Y0=G0+jB0 (テブナンの定理) GY=G+jBjB E 2 Z0 Z 2 J Y0 Y E 2 R ( R0 R ) 2 ( X 0 X ) 2 (ノートンの定理) G で消費される電力 P は、 P GV G 2 J 2 Y0 Y 2 J 2 G (G0 G ) 2 ( B0 B ) 2 供給電力最大の法則 [1] R 一定、X 可変の場合 P E 2 R より、X=-X0 の時に P が最大となる ( R0 R) 2 ( X 0 X ) 2 [2] R 可変、X 一定の場合 P E 2 R を R について微分し、dP/dR=0 を求める ( R0 R) 2 ( X 0 X ) 2 R0 jX0 R0 R E jX0 jX 電源の内部インピーダンス E jX 電源と負荷とのインピーダンス整合 R 電源側 負荷側 R R02 ( X 0 X ) 2 供給電力最大の法則 [3] R、X 両者可変の場合 R0 jX0 P E R 2 R ( R0 R) 2 ( X 0 X ) 2 で、 X=-X0、 R=R0 の時に最大となり、 E jX Pmax E 2 4R0 Pmaxは、電源から取り出し得る最大の電力で、電源の固有電力または 有能電力と呼ばれる。 この場合、電圧源Eが発生している電力は、 P0 E 2R0 であるから、 P0の半分が電源自身のインピーダンス(R0)で、残りが負荷で消費される。 2 取り出し得る最大電力を電源から取り出したいのなら、電源の内部イン ピーダンス Z0の複素共役の値の負荷インピーダンス Z0* を繋げばよい。 ただしその場合、半分の電力は電源内部で熱になって消費される。 インピーダンス整合 インピーダンス整合 Z0= R0+jX0 E Z = Z0 即ち、 R = R0, X = X0の時 Z= R+jX 左側 右側 Z = Z0* 即ち、 R = R0, X =-X0の時→ 共役整合 反射係数 Z Z0 Z Z0 ' 2 或いは Z0= R0の時、 = ’ :電力(パワー)反射率 つまり、 1 '' * 1 ' 2 Pmax 負荷に向かう電力 ' Pmax 2 負荷から 反射され る電力 P: 負荷で消費 される電力 Z = R+jX Z Z 0* ' Z Z0 P Pmax 例題8.7 L型マッチング回路 jX1 Zin jX2 jX2 Zout または Zin |Zin| < |Zout|の時 jX1 Zout |Zin| > |Zout|の時 L形インピーダンス整合回路 問題 特性インピーダンスの値が300Wのフィーダーを、特性インピーダンスが75Wのア ンテナにL形インピーダンス整合回路を介して繋ぎたい、具体的にどのような整 合回路となるか? ただし、使用する周波数は1MHzである。 ヒント |Zin| > |Zout|なので、以下のL形整合回路を用いる Zin, Zout などは、リアクタンス分を含まない実抵抗 Rと考えてよい 1 jX2 フィーダー Zin= 300W jX1 Zout= 75W アンテナへ 1’ 端子1-1’から右を見たインピーダンスが300Wとなるような X1, X2の値を求め、 それに対する具体的素子をあてはめれば良い。 X1がコイル L, X2がキャパシタ Cの場合と、その逆の X1が C, X2が Lの場合の 2通りの実現方法が考えられるので、両方の場合について求めよ。 L形インピーダンス整合回路 1 解答 インピーダンス整合を行うには、 端子1-1’から右を見たインピー ダンスがR1(300W)になればよい jX2 jX1 R1= 300W 従って、 1’ jX 1 ( R2 jX 2 ) R1 R2 jX 2 jX 1 X1 X 2 jR2 X1 R1R2 j ( R1 X 2 R1 X1 ) 上式が成り立つには、 X 1 X 2 R1 R2 X R1 1 X 2 R1 R2 上式からX1, X2 を求めると、 R2 R1 R2 X 2 R2 ( R1 R2 ) X 1 R1 (ただし、複合同順) R2= 75W L形インピーダンス整合回路 X1 > 0, X2 < 0の場合、右に示すような L と Cからなる整合回路となる X 1 L 2 f L R1 L X2 1 2 f jX2 R2 R1 R2 1 1 R2 ( R1 R2 ) C 2 f C C 1 1.23109 [F] 2 f R2 ( R1 R2 ) X1 < 0, X2 > 0の場合、右に示すような L と Cからなる整合回路となる 1 R2 R1 R2 jX2 jX1 1 1 R2 X1 R1 C 2 f C R1 R2 2 f R1 L 27.6 mH R2 1 75 5 300 2 . 76 10 [ H] 6 R1 R2 2 110 300 75 R1 C C 1230 pF jX1 L 20.7 mH C 919 pF 9.191010 [F] X 2 L 2 f L R2 (R1 R2 ) L 1 2 f R2 ( R1 R2 ) 2.07105 [H] インピーダンス整合 [4] X/R一定、|Z|可変の場合 n:1 Z0= R0+jX0 Z0 n2Z E E スピーカー 高インピーダンス アンプ Z= R+jX (一定) Z = 8W マッチングトランス n:1 左側を見たインピーダンス: Z0 Z0 E Z 左側 右側 右側を見たインピーダンス: n2Z n2|Z|=|Z0| の時、インピーダンス整合条件 つまり、負荷 Z で消費される電力が最大 インピーダンス整合 演習問題(8.17) R で消費される電力が最大となるように R の値を定めよ r E jx r R -jX E 電源側 負荷側 jx -jX R -jX を電源側に含めて考え、電源側と負荷側とのインピーダンス整合条件を求め ればよい 電源側のインピーダンスは、 jX (r jx) r jx jX r 2 x2 これの絶対値に Rを等しくとると、 R X 2 r ( x X )2 電力の保存則 ある回路中の各電源(理想電源)が発生する瞬時電力の総和と、その他全ての 回路素子が受け取る瞬時電力の総和は相等しい (言い換えると、回路中の全 ての素子が出す瞬時電力の総和はゼロである) コイルやキャパシタ、変成器などのリアクタンス素子は電力を消費しない(一時的 に蓄積することはある)ことを考えると、電源の実効電力の総和は、抵抗素子で 消費される電力の総和に相等しい テレゲン(Tellegen)の定理 回路の各枝を流れる電流と、枝間の電位差の積の和は0となる 例えば、N本の枝を持つ回路で、 i 番目の枝を流れる電流を Ii (t) 、枝間の電位 差を Vi (t) とし、電流の流れる方向に電圧降下が起こるとすると、 N V (t ) I (t ) 0 i 1 が成り立つ i i
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