I x

電気回路学
Electric Circuits
コンピュータサイエンスコース、
ナノサイエンスコース4セメ開講
分布定数回路
山田博仁
線路上での電圧、電流
Ix
γ, Z0
I0
Vx
V0
x
入射電流波反射電流波
Ix+
IxVx+
Vx-
入射電圧波
反射電圧波
ZL
x=0
受電端
Vx = Vx+ + VxIx = Ix+ + Ix- 
1
(Vx  Vx )
Z0
入射電流波と反射電流波は流れる
方向が反対であるため引き算となる
本講義での表記として、
+ は入射波, - なら反射波を表す
Vx+
位置 x での電圧を意味している
線路上での電圧、電流
Ix
γ, Z0
I0
Vx
V0
Z
x
x=0
受電端
線路上の任意の位置 x での電圧、電流と、受電端(x = 0)での電圧、電流との関係
Vx  Vx  Vx  V0 e x  V0 e  x

x

x
 x
0
  x
0
Ix  I  I  I e  I e
V0 e x V0 e  x


Z0
Z0
ただし、
V0  V0  V0
I 0  I 0  I 0
従って、線路上の任意の位置 x での電圧 Vx および電流 Ix は、受電端(x = 0)で
の電圧 V0 および電流 I0 を用いて、
1
1
Vx  (V0  Z 0 I 0 )e x  (V0  Z 0 I 0 )e  x
2
2
1
1
Ix 
(V0  Z 0 I 0 )e x 
(V0  Z 0 I 0 )e  x
のように表される
2Z 0
2Z 0
波の反射
1. 半無限長線路 (x→∞)
送電端
Vs
Is
Ix
Zin
Z0
xs=x+l
Zx
l
無限長
Vx
  x
無反射 V0 e  0
x
Vx  Vs e  l  Vs e  (  j ) l
Vx
V0 e x  V0 e  x

Vs V0 e ( x l )  V0 e  ( x l )
I x  (Vs / Z 0 )e
 l
 I se
Zx 
 l
Vx
 Z0
Ix
2. 特性インピーダンスZ0で終端した場合
送電端
Vs
Is
Zin
Ix
Z0
xs
V
Z in  s  Z 0
Is
l
Zx
Vx
x
I0 受電端
V0 Z0
V0
 Z0
I0
x=0
Vx  V0 e x  Vs e  l
無反射
I x  (V0 / Z 0 )e x  (Vs / Z 0 )e  l  I s e  l
インピーダンス整合
波の反射
3. 受電端を短絡した場合
送電端 Is
Vs
Zin
Z0
xs
I0 受電端
Ix
Zx
V0=0
Vx
x=0
全反射
x
l
短絡
1
Z 0 I 0 (e x  e  x )  Z 0 I 0 sinh  x 受電端では、入射波と反射波の振幅が等しい
2
1
任意の点より受電端の Z  Vx  Z tanh  x
x
 x
I x  I 0 (e  e )  I 0 cosh  x
x
0
I
方を見たインピーダンス
2
x
Vx 
定在波
3
3
t  
0
5
2
2
3
2


2
x=0
244
電圧
電流
短絡
xs
x=0
波の反射
4. 受電端を開放した場合
送電端 Is
Vs
Zin
Z0
xs
Zx
3
3
t  
0
5
2
2
V0
Vx
開放
x=0
全反射
x
l
1
Vx  V0 (e x  e  x )  V0 cosh  x
2
V
1 V0  x  x
Ix 
(e  e )  0 sinh  x
2 Z0
Z0
定在波
I0=0 受電端
Ix
受電端では、入射波と反射波の振幅が等しい
任意の点より受電端の Z  Vx  Z coth  x
x
0
Ix
方を見たインピーダンス
3
2


2
x=0
244
電圧
電流
開放
xs
x=0
波の反射と定在波
+x方向に進行する波
t = 0

4

2
3
4

l
反射波
反射端
定在波=進行波+反射波
x
定在波
l
反射端(全反射)
進行波
反射波
定在波
定在波の腹の位置
定在波の節の位置
反射端(r=0.5)
進行波
反射波
定在波
反射端(r=0.1)
進行波
反射波
定在波
出展: http://www8.plala.or.jp/ap2/chishiki/teizaiha.html
反射係数
V
Zx
Zx 
Vx
1 Γx
 Z0
Ix
1 Γx

x
Vx
Γx  
Vx
Vx
x
V0
V0
Z0, 

x
 x
0

x
  x
0
V V e , V V e
電圧反射係数
反射(電圧)波 Vx Vx  Z 0 I x Z x  Z 0
Γx 
  

 Γ 0 e  2 x
入射(電圧)波 Vx Vx  Z 0 I x Z x  Z 0
Zx 1 Γx

Z0 1 Γ x
V0
Γ0  
V0
Z
x=0
Z  Z0
Γ0 
Z  Z0
Z 1 Γ0

Z0 1 Γ0
電流反射係数
V0 e  x
反射(電流)波 I x I 0 e  x
     x     x   Γ 0 e  2 x   Γ x
入射(電流)波 I x
I0 e
V0 e
電流反射係数 = -電圧反射係数
電力反射率
Vx I x
Vx I x

V0 e  x I 0 e  x
V0 e x I 0 e x
 Γ x2
電力反射率=(電流反射係数)2 = (電圧反射係数)2
反射係数
1. 半無限長線路または、受電端を特性インピーダンスZ0で終端した場合


V
0
V x Gx=0
G0=0 無反射
Z x  Z0
Vx  0
Z0, 
x
j
V0  0 Z0 Z=Z0
G0
-1
1
x=0
-j
2. 受電端を短絡した場合
V x
1  e 2 x
Z x  Z0
1  e  2 x
Γ x  e
Vx
2 x
Z0, 
x
3. 受電端を開放した場合
V x
1  e 2 x
Z x  Z0
1  e  2 x
V

x
x
V0 G =-1 全反射
0

0
V
短絡
G
(Z=0) -1 0
x=0
Γx  e
2 x
Z0, 
V0

0
V
x=0
j
1
-j
G0=1
全反射
開放
(Z=∞) -1
j
G0
-j
1
反射係数
4. 受電端をインピーダンスZで終端した場合
V x Γ x  Γ 0 e 2 x
1  Γ 0e 2 x
Z x  Z0
1  Γ 0 e  2 x
Vx
Z0, 
x
x
Vx
x
G0
V0
Z
0
Z0, 
jG
0
q 1
-1
x=0
5.受電端をリアクタンスXで終端した場合
V x Γ  Γ e 2 x
1  Γ 0e 2 x
Z x  Z0
1  Γ 0 e  2 x
V0
-j
V0 |G |=1 全反射
0

0
V
x=0
X
j G0
q 1
-1
Z   jX
q    2 tan 1
X
Z0
-j
演習問題
8.17
特性インピーダンス Z0, 伝搬定数 , 長さ l の線路に対応するF行列は、
l
Z0
A B
C D

 cosh  l
 A B 

   1
 C D   Z sinh  l
 0
Z 0 sinh  l 

cosh  l 

AD  BC  cosh 2  l  sinh 2  l  1
B
 Z 02  Z 0
C
(8.26)式 p.170
従って、線路は相反(可逆)
BC
sinh 2  l

 tanh  l
AD
cosh 2  l
受電端を開放(I0 = 0)した線路で、受電端からの距離 x の点から受電端の方を見た
入力インピーダンス Zf は、
I0=0
l
Z 0 sinh  x 
 cosh  x
Vx  
V0 
1




 I   sinh  x cosh  x  0 
Zf
Z0
V0
 
 x Z
 0

x
x =0
演習問題
よって、 Z f  Vx
Ix

I 0 0
cosh  x
 Z 0 coth  x
1
sinh  x
Z0
受電端を短絡(V0 = 0)した線路で、受電端からの距離 x の点から受電端の方を見た
入力インピーダンス ZS は、
I0
l
Z 0 sinh  x 
 cosh  x
Vx  
 0 
1
   

 I 
ZS
Z0
V0=0
sinh

x
cosh

x
I
 0 
 x Z
 0

x
x =0
よって、 Z S 
Vx
Ix

V0  0
Z S Z f  Z  Z0
2
0
Z 0 sinh  x
 Z 0 tanh  x
cosh  x
ZS
 tanh 2  x  tanh  x
Zf
演習問題
受電端に負荷 ZL を接続したときの、受電端からの距離 x の点から負荷の方を見た
入力インピーダンス Zin は、
I0
l
Zin
Z0
x

V0
ZL
V0  Z L I 0
x =0
Z 0 sinh  x 
 cosh  x
Vx  
V0 
    1
 

sinh

x
cosh

x
 I 0 
 Ix   Z
 0

よって、
Z0
( Z cosh  x  Z 0 sinh  x)
Vx
Z L cosh  x  Z 0 sinh  x sinh  x L
Z in 


Z
I x V Z I
Z L  Z 0 coth  x
L
sinh  x  cosh  x
0
L 0
Z0

Z0
cosh  x
sinh  x
(Z L  Z 0
)
Z coth  x( Z 0 tanh  x  Z L ) Z f ( Z S  Z L )
sinh  x
cosh  x
 0

Z L  Z 0 coth  x
Z 0 coth  x  Z L
Z f  ZL
出席レポート問題
全長400kmの線路がある。その受電端を短絡した場合、送電端から見たイ
ンピーダンスの値が j250Ω、また受電端を開放した場合、送電端から見た
アドミタンスの値が j1.5×10-3 Ʊであった。この線路の伝搬定数 γ 、特性イ
ンピーダンス Z0、および1km当たりのリアクタンスX、サセプタンスBを求めよ。
解) Z0=408 Ω, γ =j1.37×10-6 m-1, X= 0.56 Ω/km, B= 3.4×10-6 Ʊ/km
※ 次回の講義(12/17)前までに私のメールボックスに投函か、講義に持参のこと
(何らの申し出も無く、期限を遅れて提出されたレポートについては、添削はしま
すが、出席点はあげられません。)

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